Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten ein Trinkglases, dessen Form mit einem Funktionsgraph festgelegt wird. Ziel ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem man das Volumen des Glases bestimmen kann.
Ein Verfahren zur Volumenberechnung entwickeln
Aufgabe 1
Betrachte das im Applet vorgeformte Trinkglas. Beachte: Die Funktionsgleichung zum Funktionsgraph benutzt (auf zwei Nachkommastellen) gerundete Koeffizienten.
Zum Herunterladen: trinkglas2.ggb
(a) Erläutere anhand des Applets. Das Volumen des Trinkglases kann man näherungsweise mit vielen kleinen Scheiben bestimmen. Jede Scheibe hat dabei die Form eines Zylinders.
(b) Betrachte die unterste Zylinderscheibe zum $x$-Wert $x = 0$ und der Scheibenhöhe $\Delta x = 0.5$. Erkläre, wie man das Volumen $V_{0} \approx 6.28$ erhält.
(c) Betrachte eine Zylinderscheibe zu einem beliegen (einstellbaren) $x$-Wert und einer Scheibenhöhe $\Delta x$. Begründe:
- Die Zylinderscheibe hat das Volumen $V_x = A(x) \cdot \Delta x$.
- Die Funktion $A(x)$ beschreibt dabei den Inhalt der Grundfläche der Zylinderscheibe. Es gilt $A(x) = \pi \cdot [f(x)]^2$.
- $\Delta x$ beschreibt die Höhe der Zylinderscheibe.
Aufgabe 2
Im folgenden Applet ist in einem zweiten Koordinatensystem der Graph einer Funktion $A$ dargestellt.
Zum Herunterladen: trinkglas3.ggb
Verdeutliche im Applet:
(a) Der Funktionswert $A(x)$ im oberen Koordinatensystem entspricht dem Flächeninhalt der Grundfläche der Zylinderscheibe an der Stelle $x$. Das Volumen $V_x$ der Zylinderscheibe entspricht im oberen Koordinatensystem dem Flächeninhalt des Rechteckstreifens unter Graph $A$.
(b) Wenn man das Volumen des Trinkglases mit den Zylinderscheiben approximiert, dann approximiert man mit den Rechteckstreifen den Inhalt der Fläche unter Graph $A$ im betrachteten Bereich.
(c) Wenn man $\Delta x$ immer mehr verkleinert, dann erhöht sich dadurch die Anzahl $n$ der Zylinderscheiben. Das Volumen des Trinkglases wird hierdurch immer besser mit den Zylinderscheiben ausgeschöpft. Entsprechend wird hierdurch die Fläche unter Graph $A$ immer besser mit den Rechteckstreifen abgedeckt.
Aufgabe 3
(a) Erkläre anhand der folgenden Übersicht, dass man das Volumen des Glases mit einem Integral berechnen kann.
| Volumina der Zylinderscheiben zu Graph $f$ | Flächeninhalte der Rechteckstreifen unter Graph $A$ |
|---|---|
| $\begin{array}{l} V_{x_0} + \dots + V_{x_n} \\ \\ \quad \downarrow \Delta x \rightarrow 0 \text{ bzw. } n \rightarrow \infty \\ \\ V \end{array}$ | $\begin{array}{l} A(x_0) \cdot \Delta x + \dots + A(x_n) \cdot \Delta x \\ \\ \quad \downarrow \Delta x \rightarrow 0 \text{ bzw. } n \rightarrow \infty \\ \\ \int\limits_{a}^{b} A(x) \; dx \end{array}$ |
(b) Erkläre auch, wie man zu folgender Formel zur Volumenberechnung beim Trinkglas gelangt.
$V = \int\limits_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \; dx$
(c) Benutze die Formel und die im Applet angegebene Funktionsgleichung $f(x) = -0.02x^2 + 0.42x + 2$ sowie die Abmessungen $a = 0$ und $b = 15$ zur Volumenberechnung.
Das Verfahren zur Volumenberechnung anwenden
Ein Trinkglas ist normalerweise nicht bis zum oberen Rand gefüllt. Das Getränk reicht auch nicht bis zum Unterrand des Glases. Im folgenden Applet kannst du den Füllbereich des Glases mit den roten Punkten ⧫ selbst einstellen. Zusätzlich hast du die Möglichkeit, die Form des Glases mit den blauen Punkten ⧫ auf Graph $f$ zu variieren.
Zum Herunterladen: trinkglas5.ggb
Aufgabe 4
Nutze die Einstellmöglichkeiten, um ein Glas für eine Füllmenge $V = 400$ [ml] zu formen.
