Zusammenfassung – Volumenberechnung mit Integralen

Beispiel – Das Volumen eines Trinkglases

Wir betrachten ein Trinkglases, dessen Form mit einem Funktionsgraph festgelegt wird. Ziel ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem man das Volumen des Glases bestimmen kann.

Im folgenden Applet kann man die Form des Trinkglases selbst bestimmen. Wenn man das Kontrollkästchen [⧫] aktiviert, dann erscheinen blaue Punkte ⧫ auf Graph $f$, die man nach oben und unten bewegen kann. Wenn man die Schaltfläche [Spur ein] aktiviert und den roten Punkt ⧫ auf der $x$-Achse hin und her bewegt, dann wird die Form des Glases verdeutlicht.

Zum Herunterladen: trinkglas3.ggb

Folgende Überlegungen führen zu einem Verfahren zur Bestimmung des Volumens des Trinkglases.

• Wenn man [$V_x$] aktiviert, dann erkennt man: Das Volumen des Trinkglases kann man näherungsweise mit vielen kleinen Scheiben bestimmen. Jede Scheibe hat dabei die Form eines Zylinders.
• Wenn man zusätzlich $[A(x)]$ aktiviert, sieht man: Betrachte eine Zylinderscheibe zu einem beliegen (einstellbaren) $x$-Wert und einer Scheibenhöhe $\Delta x$: Die Zylinderscheibe hat das Volumen $V_x = A(x) \cdot \Delta x$. Die Funktion $A(x)$ beschreibt dabei den Inhalt der Grundfläche der Zylinderscheibe. Es gilt $A(x) = \pi \cdot [f(x)]^2$.
• Der Graph der Funktion $A$ wird im oberen Koordinatensystem angezeigt. Der Funktionswert $A(x)$ im oberen Koordinatensystem entspricht dem Flächeninhalt der Grundfläche der Zylinderscheibe an der Stelle $x$. Das Volumen $V_x$ der Zylinderscheibe entspricht im oberen Koordinatensystem dem Flächeninhalt des Rechteckstreifens unter Graph $A$.
• Wenn man das Volumen des Trinkglases mit den Zylinderscheiben approximiert, dann approximiert man mit den Rechteckstreifen den Inhalt der Fläche unter Graph $A$ im betrachteten Bereich. Wenn man $\Delta x$ immer mehr verkleinert, dann erhöht sich dadurch die Anzahl $n$ der Zylinderscheiben. Das Volumen des Trinkglases wird hierdurch immer besser mit den Zylinderscheiben ausgeschöpft. Entsprechend wird hierdurch die Fläche unter Graph $A$ immer besser mit den Rechteckstreifen abgedeckt.

Insgesamt ergibt sich folgender Zusammenhang.

Volumina der Zylinderscheiben zu Graph $f$	Flächeninhalte der Rechteckstreifen unter Graph $A$
$\begin{array}{l} V_{x_0} + \dots + V_{x_n} \\ \\ \quad \downarrow \Delta x \rightarrow 0 \text{ bzw. } n \rightarrow \infty \\ \\ V \end{array}$	$\begin{array}{l} A(x_0) \cdot \Delta x + \dots + A(x_n) \cdot \Delta x \\ \\ \quad \downarrow \Delta x \rightarrow 0 \text{ bzw. } n \rightarrow \infty \\ \\ \int\limits_{a}^{b} A(x) \; dx \end{array}$

Für das Volumen des Trinkglases zur Funktion $f$ gilt also:

$V = \int\limits_{a}^{b} A(x) \; dx = \int\limits_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \; dx$

Die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ legen dabei den Füllbereich des Trinkglases fest.

Zum Herunterladen: trinkglas5.ggb

Verallgemeinerung – Volumenberechnung mit Integralen

Das bisher betrachtete Trinkglas ist als Rotationskörper modelliert. Die Form des Körpers entsteht, indem man den Graph einer erzeugenden Funktion $f$ um die $x$-Achse rotiert. Im Applet kannst du die Rotation mit dem Schieberegler [$\varphi$] durchführen.

Zum Herunterladen: rotationskoerper1.ggb

Bei der Volumenbestimmung bei einem Rotationskörper geht man so vor: Der Rotationskörper entsteht aus (unendlich vielen unendlich dünnen) Kreisscheiben, deren Radien von der erzeugenden Funktion $f$ festgelegt werden.

Wir verändern jetzt die Modellierung des betrachteten Körpers: Statt (unendlich vieler unendlich dünner) Kreisscheiben benutzen wir (unendlich viele unendlich dünne) Quadratscheiben, deren Seitenlängen alle mit einer erzeugenden Funktion $f$ festgelegt werden. Es entsteht so ein pyramidenartiger Körper.

Zum Herunterladen: volumenberechnung.ggb

Die Überlegungen zum Trinkglas (bzw. Rotationskörper) lassen sich auf den pyramidenartigen Körper übertragen. Das Volumen des pyramidenartigen Körpers lässt sich mit folgendem Integral bestimmen:

$V = \int\limits_{a}^{b} A(x) \; dx$ mit $A(x) = 4 \cdot [f(x)]^2$

Statt Quadrate kann man auch andere Figuren verwenden. Der Grundgedankte der Volumenberechnung mit einem Integral (Aufsummieren der Volumina von unendlich vielen unendlich dünnen Scheiben) lässt sich auch auf solche Situationen anwenden.

Eine weitere Verallgemeinerung erhält man, wenn man auf die erzeugende Funktion $f$ verzichtet. Die erzeugende Funktion $f$ dient beim Trinkglas und beim pyramidenartigen Körper nur dazu, die Querschnittsflächen des betrachteten Körpers systematisch zu erzeugen. Das Verfahren zur Volumenbestimmung mit Hilfe des Integrals lässt sich für beliebige Körper anwenden, sofern man die Querschnittsflächenfunktion $A$ kennt. Es gilt folgender allgemeiner Zusammenhang: