Übungen – Volumenberechnung mit Integralen
Aufgabe 1
In der Übersicht sind vier Rotationskörper vorgegeben.
(a) Die Rotationskörper werden mit Funktionsgraphen im Intervall $[0; 8]$ erzeugt. Ordne den Rotationskörpern passende erzeugende Funktionen zu. Zur Auswahl stehen:
- $f(x) = x^2$
- $f(x) = \frac{1}{4}x$
- $f(x) = \frac{1}{8}x(8-x)$
- $f(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = 1-\frac{1}{2}x$
- $f(x) = \frac{1}{2}x-1$
- $f(x) = \frac{1}{2}x(x-2)$
- $f(x) = -\sqrt{x}$
Beachte, dass es zu einem Körper mehrere erzeugende Funktionen geben kann.
(b) Berechne die Volumina der Rotationskörper zum Intervall $[0; 8]$.
| Rotationskörper | erzeugende Funktion | Volumen zum Intervall $[0;8]$ | |
|---|---|---|---|
| (a) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| (b) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| (c) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| (d) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet dargestellte Situation. Der Rotationskörper zur vorgegebenen erzeugenden Funktion ist eine Kugel.
Zum Herunterladen: rotationskoerper-kugel.ggb
(a) Begründe, dass man einen Halbkreis oberhalb der $x$-Achse mit dem Mittelpunkt $(0|0)$ und dem Radius $r$ mit folgender Funktion darstellen kann:
$f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$
(b) Zeige, dass man für den Rotationskörper zu dieser erzeugenden Funktion folgende Volumenformel erhält:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
Aufgabe 3
Das Applet zeigt, wie man mit einer Ursprungsgeraden eine quadratische Pyramide erzeugen kann. Beachte, dass es sich bei der Pyramide nicht um einen Rotationskörper handelt.
Zum Herunterladen: volumenberechnung-pyramide.ggb
(a) Betrachte eine quadratische Pyramide mit der Grundseite $a$ und der Höhe $h$. Begründe, dass man die quadratische Pyramide mit folgender Funktion erzeugen kann.
$f(x) = \frac{a}{2h}x$
(b) Zeige, dass man für die quadratische Pyramide zu dieser erzeugenden Funktion folgende Volumenformel erhält:
$V = \frac{1}{3} a^2 h$
Aufgabe 4
Im Applet wird ein Körper wie folgt erzeugt: Die Querschnittsfläche an der Stelle $x$ ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $u(x) = \frac{1}{8}x(8-x)$ und $v(x) = 2 - \frac{1}{4}x$. Mache dir die Form des Körpers zunächst mit Hilfe des Applets klar.
Zum Herunterladen: volumenberechnung-pyramide.ggb
Berechne das Volumen des Körpers im Intervall $[0; 8]$ mit einem geeigneten Integral.
