Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du das Integral zur Volumenberechnung bei einem Trinkglas benutzt. Wir verallgemeinern hier die Überlegungen zur Volumenberechnung mit Integralen.
Das Verfahren auf Rotationskörper übertragen
Das bisher betrachtete Trinkglas ist als Rotationskörper modelliert. Die Form des Körpers entsteht, indem man den Graph einer erzeugenden Funktion $f$ um die $x$-Achse rotiert. Im Applet kannst du die Rotation mit dem Schieberegler [$\varphi$] durchführen.
Zum Herunterladen: rotationskoerper1.ggb
Aufgabe 1
Begründe, dass man das Verfahren zur Volumenbestimmung bei Trinkgläsern auf beliebige Rotationskörper übertragen kann. Nutze dabei folgende Grundidee: Einen Rotationskörper kann man sich aus (unendlich vielen unendlich dünnen) Kreisscheiben (deren Radien von der erzeugenden Funktion $f$ festgelegt sind) aufgebaut denken.
Das Verfahren verallgemeinern
Wir verändern die Modellierung ein wenig: Statt (unendlich vieler unendlich dünner) Kreisscheiben benutzen wir (unendlich viele unendlich dünne) Quadratscheiben, deren Seitenlängen mit einer Funktion $f$ festgelegt werden. Es entsteht so ein pyramidenartiger Körper. Teste das selbst im Applet.
Zum Herunterladen: volumenberechnung.ggb
Aufgabe 2
Erkläre Schritt für Schritt, warum man das Volumen des pyramidenartigen Körpers mit folgendem Integral bestimmen kann:
$V = \int\limits_{a}^{b} A(x) \; dx = \int\limits_{a}^{b} 4 \cdot [f(x)]^2 \;dx$
Aufgabe 3
Erläutere die Rolle der Funktion $f$ bei der Modellierung des Trinkglases und des pyramidenartigen Körpers.
Aufgabe 4
Begründe, dass sich das Vorgehen beim Trinkglas und beim pyramidenartigen Körper so verallgemeinern lässt.
Volumenberechnung mit dem Integral
Betrachte einen Körper, dessen Querschnittsflächen man in $x$-Richtung im Intervall $[a;b]$ mit einer stetigen Funktion $A$ beschreiben kann. Dann lässt sich das Volumen des Körpers zum Intervall $[a; b]$ so bestimmen:
$V = \int\limits_{a}^{b} A(x) \; dx $
