Lösungen zu Übungen – Integralfunktionen
Aufgabe 1
Hier geht es darum, Bestandsrekonstruktionen für einfache Zuflussratenfunktionen rechnerisch durchzuführen. Ergänze in der Übersicht die fehlenden Teile.
| Beispiel 1 | Beispiel 2 | ||||||||||||||||||||||||
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| Zufluss-Abfluss-System: | Zufluss-Abfluss-System: | ||||||||||||||||||||||||
Randfunktion $f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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Randfunktion $f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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Integralfunktion $I_0$ (Entwicklung des Gesamtzufusses):
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Integralfunktion $I_0$ (Entwicklung des Gesamtzufusses):
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Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist so viel Wasser in den Behälter gelaufen: |
Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist so viel Wasser in den Behälter gelaufen: |
| Beispiel 1 | Beispiel 2 | ||||||||||||||||||||||||
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| Zufluss-Abfluss-System: | Zufluss-Abfluss-System: | ||||||||||||||||||||||||
Randfunktion $f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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Randfunktion $f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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Integralfunktion $I_0$ (Entwicklung des Gesamtzufusses):
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Integralfunktion $I_0$ (Entwicklung des Gesamtzufusses):
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Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist so viel Wasser in den Behälter gelaufen: $I_0(10) = 600$ |
Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist so viel Wasser in den Behälter gelaufen: $I_0(10) = 1000$ |
Aufgabe 2
Ordne die Integralfunktion in der Übersicht den veranschaulichenden Applets zu.
| Integralfunktion (Integralschreibweise) |
Integralfunktion (Berechnungsterm) |
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| Veranschaulichung | Integralfunktion (Integralschreibweise) |
Integralfunktion (Berechnungsterm) |
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| Veranschaulichung | Integralfunktion (Integralschreibweise) |
Integralfunktion (Berechnungsterm) |
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| $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} 2 \; dt$ | $2x$ | |
| $I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} 2 \; dt$ | $2x - 4$ | |
| $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} 2 \; dt$ | $2x + 4$ | |
| $I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} -2 \; dt$ | $-2x + 4$ | |
| $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} -2 \; dt$ | $-2x - 4$ | |
| $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} -2 \; dt$ | $-2x$ |
Aufgabe 3
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = x$.
(a) Betrachte die Stelle $a = 0$. Bestimme $I_0(x)$ für $x \in \{0, 2, 4\}$ mittels geometrischer Berechnungen.
(b) Bestimme eine Funktionsgleichung für $I_0$. Überprüfe mit dem Applet, ob die (von dir eingegebene) Funktionsgleichung die Werte liefert, die du in (a) berechnet hast.
(c) Betrachte die Stelle $a = 2$. Bestimme $I_2(x)$ für $x = 2$ und $x = 4$ mittels geometrischer Berechnungen.
(d) Betrachte weiterhin die Stelle $a = 2$. Begründe: $I_2(x) = I_0(x) - I_0(2)$. Nutze diese Beziehung, um eine Funktionsgleichung für $I_2(x)$ zu bestimmen. Kontrolliere sie mit dem Applet.
(e) Betrachte auch noch die Stelle $a = -2$. Entwickle eine Funktionsgleichung für diese Funktion. Kontrolliere sie mit dem Applet.
Zum Herunterladen: integralfunktionen3b.ggb
(a)
Mit Flächenberechnungen (zu den Dreiecken) erhält man $I_0(0) = 0$, $I_0(2) = 2$ und $I_0(4) = 8$.
(b)
$I_0(x) = \frac{1}{2}x^2$ für $x \ge 0$
(c)
Mit Flächenberechnungen (zu den Trapezen) erhält man $I_2(2) = 0$ und $I_2(4) = 6$.
(d)
Den orientierte Flächeninhalt von $f$ von $2$ bis $x$ erhält man, indem man den Flächeninhalt des Dreiecks unter Graph $f$ von $0$ bis $x$ bestimmt und davon den Flächeninhalt des Dreiecks unter Graph $f$ von $0$ bis $2$ subtrahiert. Man erhält so die Funktionsgleichung $f_2(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$ (für $x \ge 2$).
(e)
Den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $-2$ bis $x$ erhält man,
indem man den Flächeninhalt des Trapezes unter Graph $f$ von $2$ bis $x$ bestimmt.
Der orientierte Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $-2$ bis $2$ ergibt "$0$",
da sich die orientierten Flächeninhale unter- und oberhalb der $x$-Achse aufheben
.
Man erhält so die Funktionsgleichung $f_{-2}(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$ (für $x \ge -2$).
Aufgabe 4
Hier die Aussage eines Politikers:
Unsere Population besteht aktuell aus $20$ Millionen Personen. Aktuell haben wir eine Wachstumsrate von $1$ Million pro Jahr.
Das kann so nicht weitergehen. Wir müssen die Wachstumsrate in den nächsten $20$ Jahren kontinuierlich auf den Wert $0$ [Millionen pro Jahr]
senken. Für die Haushaltsplanungen wäre es gut, wenn wir genau wüssten, wie sich die Bevölkerungszahl in den nächsten $20$ Jahren dann entwickeln würde.
Entwickle aus den Angaben eine Funktion, mit der man das Populationswachstum beschreiben kann. Gehe dabei so vor.
- Beschreibe zuerst die gewünschte Wachstumslate mit einer linearen Funktion $f$.
- Entwickle dann einen Funktionsterm für die benötigte Integralfunktion $I_a$.
- Beschreibe die Entwicklung der Population mit einer Funktion $P$. Berücksichtige dabei, dass die Population zu Beginn aus $20$ Millionen Personen besteht.
Überprüfe im Applet, ob die entwickelte Funktion $P$ die Populationsentwicklung in den nächsten $20$ Jahren sinnvoll beschreibt.
Zum Herunterladen: populationswachstum.ggb
Zum Herunterladen: populationswachstumloesung.ggb
