Lösungen zu Übungen – Volumenberechnung mit Integralen
Aufgabe 1
In der Übersicht sind vier Rotationskörper vorgegeben.
(a) Die Rotationskörper werden mit Funktionsgraphen im Intervall $[0; 8]$ erzeugt. Ordne den Rotationskörpern passende erzeugende Funktionen zu. Zur Auswahl stehen:
- $f(x) = x^2$
- $f(x) = \frac{1}{4}x$
- $f(x) = \frac{1}{8}x(8-x)$
- $f(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = 1-\frac{1}{2}x$
- $f(x) = \frac{1}{2}x-1$
- $f(x) = \frac{1}{2}x(x-2)$
- $f(x) = -\sqrt{x}$
(b) Berechne die Volumina der Rotationskörper zum Intervall $[0; 8]$.
| Rotationskörper | erzeugende Funktion | Volumen zum Intervall $[0;8]$ | |
|---|---|---|---|
| (a) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| (b) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| (c) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| (d) |
|
$f(x) = $ | $V = $ |
| Rotationskörper | erzeugende Funktion | Volumen zum Intervall $[0;8]$ | |
|---|---|---|---|
| (a) |
|
$f(x) = \frac{1}{4}x$ | $V = \int\limits_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \; dx \approx 33.51$ |
| (b) |
|
$f(x) = \sqrt{x}$ $f(x) = -\sqrt{x}$ |
$V = \int\limits_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \; dx \approx 100.53$ |
| (c) |
|
$f(x) = 1 - \frac{1}{2}x$ $f(x) = \frac{1}{2}x-1$ |
$V = \int\limits_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \; dx\approx 58.64$ |
| (d) |
|
$f(x) = \frac{1}{8}x(8-x)$ | $V = \int\limits_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \; dx \approx 53.62$ |
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet dargestellte Situation. Der Rotationskörper zur vorgegebenen erzeugenden Funktion ist eine Kugel.
Zum Herunterladen: rotationskoerper-kugel.ggb
(a) Begründe, dass man einen Halbkreis oberhalb der $x$-Achse mit dem Mittelpunkt $(0|0)$ und dem Radius $r$ mit folgender Funktion darstellen kann:
$f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$
(b) Zeige, dass man für den Rotationskörper zu dieser erzeugenden Funktion folgende Volumenformel erhält:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
(a) Mit dem Satz des Pythagoras erhält man:
$x^2 + [f(x)]^2 = r^2$
Hieraus folgt:
$f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$
(b) Für das Volumen des Rotationskörpers mit erzeugender Funktion $f$ zum Intervall $[-r; r]$ gilt:
$V = \int\limits_{-r}^{r} \pi [f(x)]^2 \; dx = 2 \pi \int\limits_{0}^{r} [f(x)]^2 \; dx = 2 \pi \int\limits_{0}^{r} (r^2 - x^2) \; dx = 2 \pi \left[ r^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^r = \frac{4}{3} \pi r^3$
Aufgabe 3
Das Applet zeigt, wie man mit einer Ursprungsgeraden eine quadratische Pyramide erzeugen kann. Beachte, dass es sich bei der Pyramide nicht um einen Rotationskörper handelt.
Zum Herunterladen: volumenberechnung-pyramide.ggb
(a) Betrachte eine quadratische Pyramide mit der Grundseite $a$ und der Höhe $h$. Begründe, dass man die quadratische Pyramide mit folgender Funktion erzeugen kann.
$f(x) = \frac{a}{2h}x$
(b) Zeige, dass man für die quadratische Pyramide zu dieser erzeugenden Funktion folgende Volumenformel erhält:
$V = \frac{1}{3} a^2 h$
(a) Für die Steigung der Ursprungsgeraden gilt:
$m = \frac{a/2}{h} = \frac{a}{2h}$
Hieraus folgt:
$f(x) = \frac{a}{2h}x$
(b) Für das Volumen der Pyramide mit erzeugender Funktion $f$ zum Intervall $[0; h]$ gilt dann:
$V = \int\limits_{0}^{h} 4 [f(x)]^2 \; dx = 4 \int\limits_{0}^{4} \frac{a^2}{4h^2}x^2 \; dx = 4 \left[ \frac{1}{3} \frac{a^2}{4h^2}x^3 \right]_0^h = \frac{1}{3} a^2 h$
Aufgabe 4
Im Applet wird ein Körper wie folgt erzeugt: Die Querschnittsfläche an der Stelle $x$ ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $u(x) = \frac{1}{8}x(8-x)$ und $v(x) = 2 - \frac{1}{4}x$. Mache dir die Form des Körpers zunächst mit Hilfe des Applets klar.
Zum Herunterladen: volumenberechnung-pyramide.ggb
Berechne das Volumen des Körpers im Intervall $[0; 8]$ mit einem geeigneten Integral.
Die Querschnittsfläche an der Stelle $x$ hat folgenden Flächeninhalt:
$A(x) = u(x) \cdot v(x) = \frac{1}{8}x(8-x) \cdot (2 - \frac{1}{4}x) = \frac{1}{32}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x$
Für das Volumen des Körpers zum Intervall $[0; 8]$ gilt dann:
$V = \int\limits_{0}^{8} A(x) \; dx = \left[ \frac{1}{128}x^4 - \frac{1}{6}x^3 + x^2 \right]_0^8 = \frac{32}{3} $
