Erarbeitung
Bestandsänderungen mathematisch erfassen
Wir gehen von folgender Situation aus: Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. eine Populationsgröße oder eine Datenmenge) zu. Die Funktion soll im gesamten betrachteten $x$-Wertebereich definiert sein.
Im folgenden Applet ist eine solche Situation dargestellt. Bearbeite die darunter aufgeführten Aufgaben.
Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate.ggb
Aufgabe 1
(a) Betrachte die im Applet voreingestellte Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:
$P(\,\textcolor{red}{2}\mid \textcolor{blueviolet}{0.59}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{5}\mid \textcolor{blueviolet}{3.18}\,)$
Kläre folgende Fragen (und kontrolliere die Ergebnisse mit den Kontrollkästchen im Applet).
- Wie groß war die Schrittweite (d.h. die Änderung des $x$-Werts) dabei?
- Um welchen $y$-Wert hat sich der Bestand von $P$ nach $Q$ verändert?
- Wie groß ist die mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit?
- Warum muss man im aktuellen Fall von einer mittleren/durchschnittlichen Änderung sprechen?
(b) Betrachte eine Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:
$P(\,\textcolor{red}{x_0}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_0)}\,) \rightarrow Q(\,\textcolor{red}{x_1}\mid \textcolor{blueviolet}{f(x_1)}\,)$
Gib Formeln zur Berechnung der folgenden Größen an.
- Änderung des $y$-Werts von $P$ nach $Q$: ...
- Schrittweite (d.h. die Änderung des $x$-Werts) von $P$ nach $Q$: ...
- mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit beim Übergang von $P$ nach $Q$: ...
(c) Sichere deine Egebnisse auf dem folgenden Arbeitsblatt.
Aufgabe 2
Oft interessiert nicht nur die gesamte Änderung eines Bestandes in einem Intervall, sondern die mittlere Änderung pro Schrittweite in diesem Intervall. Diese mittlere Änderung pro Schrittweite kann man auch als mittlere Änderungsgeschwindigkeit deuten. Wir führen einen Fachbegriff für diese Größe ein:
Mittlere Änderungsrate
Die Entwicklung eines Bestands werde im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ (mit $x_1 > x_0$) mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ beschreibt die Änderung des Bestandes pro Schrittweite in diesem Intervall. Man berechnet sie so:
$m(x_0, x_1) = \dots$
(a) Fülle die Lücke in der Formel oben. Verwende dabei ggf. die passenden Farben. Nutze deine Ergebnisse von Aufgabe 2.
(b) Erkläre, warum man den Term aus Teilaufgabe (a) auch Differenzenquotient nennt.
(c) Sichere deine Egebnisse auf dem folgenden Arbeitsblatt.
