Erarbeitung
Zur Orientierung
In der Mathematik werden Begriffe immer präzise definiert. Das hat den Vorteil, dass es – anders als im Alltag – keine Unstimmigkeiten durch unterschiedliche Begriffsdeutungen gibt. Ziel dieser Seite ist es, Begriffe, die zuvor informell geklärt wurden, hier präzise zu definieren.
Den Nullstellenbegriff präzisieren
Wir betrachten zuerst den Begriff Nullstelle
. Inhaltlich kann man die Bedeutung dieses Begriffs so umschreiben:
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Stellen, an denen der Graph von $f$ die $x$-Achse schneidet oder berührt.
Zum Herunterladen: nullstellentool2.ggb
In einer Begriffsdefinition wird die Bedeutung eines Begriff präzise mit einer definierenden Eigenschaft festgelegt. Die folgende Begriffsdefinition hebt den zu definierenden Begriff hervor. Die definierende Eigenschaft ... fehlt hier noch.
Nullstelle einer Funktion
Eine Zahl $x$ aus der Definitionsmenge der Funktion $f$ ist eine Nullstelle von $f$ genau dann, wenn ...
Aufgabe 1
Welche der folgenden Vorschläge eignet sich (nicht) als definierende Eigenschaft für den Begriff Nullstelle
? Begründe jeweils.
- ... wenn $x$ der Funktionswert von $f$ an der Stelle $0$ ist.
- ... wenn $x$ ein Punkt von Graph $f$ ist, der auf der $x$-Achse liegt.
- ... wenn $x$ eine Zahl ist, der die Funktion $f$ den Funktionswert $0$ zuordnet.
- ... wenn die Bedingung $f(x) = 0$ erfüllt ist.
Begriffe zur Beschreibung von Extremwerten präzisieren
Die Überlegungen zur Begriffsfestlegung lassen sich mit einem Applet unterstützen, in dem immer nur ein Teil des Funktionsgraphen sichtbar ist.
Aufgabe 2
(a) Mache dich zunächst mit dem folgenden Applet vertraut. Schaue dir hierzu die Anleitung zum Applet an.
Anleitung für das Applet
- Im Applet ist der Graph einer Funktion $f$ dargestellt. Man kann zunächst aber nur einzelne Punkte des Graphen anzeigen, indem man den Schieberegler für die Stelle $x$ hin und her bewegt.
- Mit dem Schieberegler $u_0$ kann man den Graph in einer Umgebung der gewählten Stelle sichtbar machen. Wenn z.B. für $x = 1$ die Umgebungsbreite auf $u_0 = 0.2$ eingestellt ist, dann sieht man den Graph im Umgebungsintervall $0.8 \text{ < } x \text{ < } 1.2$ zur Stelle $x = 1$.
- Beachte: Jeder Strich auf der $x$-Achse und der $y$-Achse markiert $1$ Einheit.
(b) Stelle im Applet die Umgebungsbreite $u_0 = 0.3$ ein. Ermittle, an welchen Stellen $x$ die vorgegebene Funktion $f$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum hat. Betrachte dabei nur die Stellen, die man mit dem Schieberegler für $x$ einstellen kann.
Zum Herunterladen: lokale_extrema_definition.ggb
Aufgabe 3
Verdeutliche mithilfe des Applets von Aufgabe 2 folgende Begriffsdefinition.
Lokale Extrema
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Maximum genau dann, wenn es ein Umgebungsintervall $I$ zur Stelle $x$ gibt, so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \geq f(z)$.
Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x$ ein lokales Minimum genau dann, wenn es ein Umgebungsintervall $I$ zur Stelle $x$ gibt, so dass für alle Stellen $z \in I$ gilt: $f(x) \leq f(z)$.
Lokale Maxima und lokale Minima werden auch lokale Extrema genannt.
Aufgabe 4
Ergänze die Begriffsdefinition.
Lokale Extrema
Eine Maximumstelle ist eine Stelle, an der ein ... vorliegt.
Eine Minimumstelle ist eine Stelle, an der ...
Eine Extremstelle ist eine Stelle, an der ...
Aufgabe 5
Erstelle selbstständig Begriffsdefinitionen für die Begriffe Hochpunkt
und Tiefpunkt
.
Hier kannst du bereits definierte Begriffe verwenden.
