Ideen für Näherungsverfahren
Zur Orientierung
Im letzten Kapitel hast du die Nullstellen von Funktionen in einfachen Fällen direkt ablesen können oder mit Standardverfahren berechnen können. Wir betrachten hier die schwierigeren Fälle, in denen Standardverfahren nicht anwendbar sind.
Ideen zur Nullstellenbestimmung entwickeln
In den beiden Aufgaben geht es darum, mit wenig Information erste Näherungswerte für eine Nullstelle der Funktion $f$ mit $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$ zu bestimmen. Leider ist der Graph der Funktion $f$ nicht gegegeben.
Aufgabe 1
Betrachte die im Applet dargestellte Situation: es gilt $f(1) = -1.1$ und $f(2) = 1.2$.
Beachte, dass die ganzrationale Funktion $f$ an jeder Stelle auf der $x$-Achse definiert dort auch stetig ist
(d.h. dass der Funktionsgraph keine Spünge
aufweist).
(a) Wie sicher kann man sein, dass die Funktion $f$ eine Nullstelle im Intervall $1 \leq x \leq 2$ hat? Begründe kurz.
(b) Stelle eine Vermutung auf, welchen Wert die Nullstelle hat. Verschiebe den orangen Punkt auf der $x$-Achse an die vermutete Nullstelle.
(c) Klicke den orangen Punkt einmal an. Eingeblendet wird der Punkt des Funktionsgraphen zur gewählten Stelle. Welchen Schluss kann man jetzt über die Lage der Nullstelle ziehen? Begründe kurz.
(d) Wie könnte man systematisch vorgehen, um die Nullstelle von $f$ im Intervall $1 \leq x \leq 2$ zu bestimmen? Beschreibe das Vorgehen.
Zum Herunterladen: bisektion0.ggb
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet dargestellte Situation: es gilt $f(2) = 1.2$ und $f'(2) = 4$. Beachte, dass die ganzrationale Funktion $f$ an jeder Stelle auf der $x$-Achse definiert und dort differenzierbar ist (d.h. dass man an jeder Stelle den Funktionswert und die Ableitung bestimmen kann).
(a) Wie sicher kann man sein, dass die Funktion $f$ eine Nullstelle hat? Begründe kurz.
(b) Die im Applet vorgegebene Funktion hat eine Nullstelle (in der Nähe der Zahl $2$). Stelle eine Vermutung auf, welchen Wert die Nullstelle hat. Verschiebe den orangen Punkt auf der $x$-Achse an die vermutete Nullstelle.
(c) Klicke den orangen Punkt einmal an. Eingeblendet wird der Punkt des Funktionsgraphen zur gewählten Stelle mit der Steigung in diesem Punkt. Welche Vermutung kann man jetzt über die Lage der Nullstelle aufstellen? Erläutere kurz.
(d) Wie könnte man systematisch vorgehen, um die Nullstelle von $f$ zu bestimmen? Beschreibe das Vorgehen.
Zum Herunterladen: newton0.ggb
Zur Orientierung
Auf den folgenden Seiten werden – passend zu den beiden Aufgaben oben – zwei Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung entwickelt.
