Das Newton-Verfahren

Nullstellen näherungsweise bestimmen

Wir betrachten wie im Eingangsabschnitt die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$. Ziel ist es, eine Nullstelle dieser Funktion möglichst genau zu bestimmen.

Aufgabe 1

Mache dich zunächst mit dem folgenden Applet vertraut. Gehe hierzu auch die Anleitung durch.

Anleitung zum Applet

• Im grünen Eingabebereich kann man die Funktion und einen Startwert $x_0$ für die zu bestimmende Nullstelle eingeben.
• Im gelben Bereich befinden sich die Schaltflächen zur Steuerung des Annäherungsprozesses. In einem ersten Schhritt muss man die Schaltfläche [$x_0$ übernehmen] aktivieren. Danach aktiviert man in einem Berechnungsschritt nacheinander die Schaltflächen [$x_i$ konstruieren] und [$x_i$ übernehmen].
• Das Aktivieren der Schaltflächen löst jeweils Aktionen aus, die im Grafikbereich visualisiert werden. Den Grafikbereich kann man Verschieben und auch Vergrößern bzw. Verkleinern.
• In jedem Berechnungsschritt wird ein neuer Näherungswert $x_i$ zur Nullstelle erzeugt. Der aktuelle Wert wird im blauen Ausgabebereich angezeigt.

Zum Herunterladen: newtonverfahren1.ggb

Aufgabe 1

(a) Bestimme mit Hilfe des Applets einen Näherungswert für die Nullstelle der Funktion $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$ in der Nähe der Zahl $1$. Beobachte, wie schnell sich die Nachkommastellen der Näherungswerte stabilisieren.

(b) Beschreibe das im Applet benutzte Verfahren zur Nullstellenbestimmung.

(c) Variiere den Startwert $x_0$. Wähle z.B. $x_0 = 0$ oder $x_0 = -1$. Was fällt dabei auf?

(d) Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$ in der Nähe von $-2.5$ eine weitere Nullstelle. Das sieht man, wenn man den Grafikbereich ein wenig verschiebt. Bestimme auch einen Näherungswert für diese Nullstelle.

Aufgabe 2

Im Applet wird die Konstruktion der Näherungswerte $x_0, x_1, x_2, \dots$ veranschaulicht. Wie die Werte berechnet werden wird dagegen nicht gezeigt.

(a) Wie berechnet man $x_1$ aus dem vorgegebenen $x_0$? Leite eine Berechnungsformel her.

Tipp

Du kannst die Tangentengleichung verwenden: $t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Für $x_1$ muss die Bedingung $t(x_1) = 0$ gelten.

Zur Kontrolle

$x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

(b) Wie berechnet man $x_2$, wenn man $x_1$ bereits kennt? Gib eine Berechnungsformel an.

(c) Wie berechnet man $x_{n+1}$, wenn man $x_n$ bereits kennt? Verallgemeinere die Berechnungsformel.

Zur Kontrolle

$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

(d) Benutze die (rekursive) Berechnungsformel, um selbst noch einmal Näherungswerte für die Nullstelle der Funktion $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$ in der Nähe von $2$ zu berechnen. Vergleiche die Ergebnisse mit den Ergebnisse, die das Applet liefert.

Aufgabe 3

(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2x + 2$ und den Startwert $x_0 = 1$. Führe das Newton-Verfahren mehrere Schritte durch. Welches Problem tritt hier auf? Teste auch den Startwert $x_0 = 1.2$. Beschreibe die Schwierigkeit, die beim Newton-Verfahren auftreten kann.

(b) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^3$. Die Nullstelle der Funktion $f$ kann man direkt angeben. Führe das Newton-Verfahren mit dem Startwert $x_0 = 1$ durch. Beobachte den Annäherungsprozess – auch mit geeigneten Vergrößerungen. Beschreibe die Schwierigkeit, die hier auftritt.

(c) Beschreibe die Nachteile des Newton-Verfahrens.

Aufgabe 4

Wenn du Programmieren kannst, dann implementiere das Newton-Verfahren in einer selbst gewählten Programmiersprache.