Erarbeitung – Das Faktorisierungsverfahren
Zur Orientierung
Mit dem Faktorisierungsverfahren kann man oft die Nullstellen bei ganzrationen Funktionen mit einem Grad größer als 2 bestimmen.
Die Grundidee entwickeln
Betrachte die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^6 - 6x^5 - 2x^4 + 6x = x^3 \cdot (x^2 - 1) \cdot (2x - 6)$. Die Funktion $f$ ist hier mit zwei Funktionstermen dargestellt: zum einen in der üblichen Potenzsummenform, zum anderen in einer Produktform. Es wird sich zeigen, dass bei der Nullstellenbestimmung die Produktform besonders günstig ist. Bearbeite hierzu die folgenden Aufgaben.
Aufgabe 1
(a) In der folgenden Auflistung sind etliche Produkte aus reellen Zahlen aufgeführt. Welche Produkte ergeben die Zahl $0$ bzw. eine von $0$ verschiedene Zahl (du musst diese Zahl nicht angeben)? Wie kann man das schnell entscheiden? Erläutere kurz.
- $0 \cdot 5$
- $(-1) \cdot 1$
- $\frac{-3}{4} \cdot \frac{1}{6} \cdot 0$
- $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}$
- $\sqrt{2} \cdot 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}$
- $(-2.4) \cdot 8.05 \cdot 0 \cdot 2.5 \cdot 0 \cdot 1.6 \cdot (-3.1)$
(b) Begründe den allgemeinen Satz über Nullprodukte.
Nullprodukte
Ein Produkt ergibt Null genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren eine Null ist:
$a \cdot b = 0$ genau dann, wenn $a = 0$ oder $b = 0$.
Aufgabe 2
(a) Begründe den folgenden Satz über Nullstellen bei einer ganzrationalen Funktion in Produktform.
Nullstellen bei einer Produktform
Betrachte eine ganzrationale Funktion $f$, die in der Produktform $f(x) = p(x) \cdot q(x)$ vorliegt.
Eine Zahl $a$ ist eine Nullstelle von $f$ genau dann, wenn $a$ eine Nullstelle von $p$ oder von $q$ oder von beiden Teilfunktionen ist.
(b) Benutze den Satz über die Nullstellen bei einer Produktform, um die Nullstellen der ganzrationalen Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^6 - 6x^5 - 2x^4 + 6x = x^3 \cdot (x^2 - 1) \cdot (2x - 6)$ zu bestimmen.
(c)
Begründe: Die Produktform ist bei der Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen günstig, weil sie
das große
Problem der Nullstellensuche in mehrere kleinere
Probleme der Nullstellensuche zerlegt.
Aufgabe 3
Ein besonders günstiger Fall liegt vor, wenn eine ganzrationale Funktion $f$ mit einem Produkt aus Linearfaktoren dargestellt ist. Ein Linearfaktor ist dabei ein Term der Gestalt $(x - a)$ mit einer reellen Zahl $a$.
(a) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (-2) \cdot (x+1) \cdot x^2 \cdot (x-3)^4$. Begründe, dass man die Nullstellen dieser Funktion direkt ablesen kann: $x = -1$; $x = 0$; $x = 3$.
(b) Bestimme analog die Nullstellen der Funktion $f$.
- $f(x) = 3(x-2)x(x+4)^2$
- $f(x) = -(x-1)^3(x+1)(x+2)^2$
- $f(x) = 4x(x+2)^2$
- $f(x) = -2x^3(x-2)^3(x+3)^2$
(c) Kann man jede ganzrationale Funktion mit einem Produkt aus Linearfaktoren beschreiben? Betrachte hierzu z.B. die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.5 \cdot (x^2+1)$. Begründe, warum das bei dieser Funktion nicht geht.
Eine ganzrationale Funktion faktorisieren
Die Vorüberlegungen oben zeigen, dass die folgende Strategie günstig für die Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen ist.
Nullstellenbestimmung mit der Faktorisierungsstrategie
Zur Bestimmung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion versucht man, den Funktionsterm in ein Produkt aus Teiltermen mit möglichst geringem Grad umzuformen.
Aufgabe 4
Bei quadratischen Funktionen kann man manchmal die binomischen Formeln zum Faktorieren benutzen.
Binomische Formeln
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Wandle die Funktionsterme in eine Produktform um und bestimme die Nullstellen der Funktionen.
- $f(x) = x^2 + 6x + 9$
- $f(x) = x^2 - 2x + 1$
- $f(x) = x^2 - 25$
- $f(x) = x^2 \cdot (x^2 - 8x + 16)$
Aufgabe 5
Bei quadratischen Funktionen kann man manchmal auch den Satz von Vieta zum Faktorieren benutzen.
Satz von Vieta
$x_1$ und $x_2$ sind Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2 + px + q = 0$ genau dann, wenn $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$ gilt.
(a) Erläutere die folgende Umformung des Funktionsterms und bestimme die Nullstellen von $f$.
$f(x) = x^2 - 2x - 15 = x^2 + \underbrace{(-2)}_{p} x + \underbrace{(-15)}_{q} = x^2 \underbrace{(-3 + 5)}_{p} x + \underbrace{(-3)\cdot 5}_{q} = (x - (-3))(x - 5)$
(b) Gehe analog vor und bestimme die Nullstellen. Überlege dir zunächst, in welche Produkte man das jeweilige $q$ umwandeln kann.
- $f(x) = x^2 + 5x + 6$
- $f(x) = x^2 - 5x + 4$
- $f(x) = x^2 + x - 1$
- $f(x) = x^2 - 3x - 10$
Aufgabe 6
Manchal ist es möglich, durch Ausklammern eine erste Prodaktdarstellung zu gewinnen..
(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2$. Erläutere die Umformungsschritte und bestimme die Nullstellen von $f$.
$f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2 \cdot (x^2 - 2x + 1) = x^2 \cdot (x-1)^2$
(b) Gehe bei den folgenden Funktionen analog vor und bestimme die Nullstellen.
- $f(x) = x^4 - x^2$
- $f(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3$
- $f(x) = x^3 + 7x^2 + 10x$
- $f(x) = x^6 - x^2$
Aufgabe 7
Ergänze das Beispiel auf dem Wissensspeicher – Nullstellen.
