Das Intervallhalbierungsverfahren

Nullstellen näherungsweise bestimmen

Wir betrachten wie im Eingangsabschnitt die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$. Ziel ist es, eine Nullstelle dieser Funktion möglichst genau zu bestimmen.

Aufgabe 1

Mache dich zunächst mit dem folgenden Applet vertraut. Gehe hierzu auch die Anleitung durch.

Anleitung zum Applet

• Im grünen Eingabebereich kann man die Funktion und das Ausgangsintervall (in dem die Nullstelle liegt) eingeben. Beachte, dass $a$ und $b$ so gewählt werden, dass die Funktionswerte $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen haben.
• Im gelben Bereich befinden sich die Schaltflächen zur Steuerung des Annäherungsprozesses. In einem ersten Schhritt muss man die Schaltfläche [$a$, $b$ übernehmen] aktivieren. Danach aktiviert man in einem Berechnungsschritt nacheinander die Schaltflächen [$x_i$ konstruieren] und [$x_i$ übernehmen].
• Das Aktivieren der Schaltflächen löst jeweils Aktionen aus, die im Grafikbereich visualisiert werden. Den Grafikbereich kann man Verschieben und auch Vergrößern bzw. Verkleinern.
• In jedem Berechnungsschritt wird ein neuer Näherungswert $x_i$ zur Nullstelle erzeugt. Der aktuelle Wert wird im blauen Ausgabebereich angezeigt.

Zum Herunterladen: bisektion1.ggb

Aufgabe 2

(a) Bestimme mit Hilfe des Applets einen Näherungswert für die Nullstelle der Funktion $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$ im Intervall $1 \le x \le 2$.

(b) Beschreibe das im Applet benutzte Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Erläutere, warum man das Verfahren Intvallhalbierungsverfahren nennt.

(c) Wieviele Berechnungsschritte sind erforderlich, um eine Nullstelle auf $3$ Nachkommastellen genau zu bestimmen, wenn man (wie im vorliegenden Beispiel) mit einem Ausgangsintervall der Länge $1$ beginnt. Begründe kurz.

(d) Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.1x^4 + 0.8x - 2$ in der Nähe von $-2.5$ eine weitere Nullstelle. Das sieht man, wenn man den Grafikbereich ein wenig verschiebt. Bestimme auch einen Näherungswert für diese Nullstelle.

Aufgabe 2

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.25x^3 - 0.75x^2 + 1$. Erkläre, warum man mit dem Intervallhalbierungsverfahren nur eine der beiden Nullstellen von $f$ bestimmen kann.

Aufgabe 3

Wenn du Programmieren kannst, dann implementiere das Intervallhalbierungsverfahren in einer selbst gewählten Programmiersprache.