Vertiefung – Funktionsunteruchung mit Nullstellen

Mit Nullstellen argumentieren

Betrachte den Fall, dass eine ganzrationale Funktion als Produkt aus Linearfaktoren gegeben ist. Ziel ist es, aus der Produktdarstellung direkt auf den Verlauf des Funktionsgraphen zu schließen.

Aufgabe 1

Mache dich zunächst mit dem Applet vertraut. Gehe hierzu die Anleitung zum Applet Schritt für Schritt durch.

Anleitung zum Applet

• Auf der $x$-Achse im oberen Fenster sind $3$ verschiedene Nulstellen mit Hilfe von orangen Punkten markiert. Die orangen Punkte kann man auf der $x$-Achse hin und her verschieben und damit die Nullstellen vorgeben.
• Im unteren Fenster kann man Funktionsterme einstellen, die genau die vorgegebenen Nullstellen haben. Mit dem Schieberegler $k$ kann man den Vorfaktor einstellen. Die Schieberegler $n_1$, $n_2$ und $n_3$ dienen dazu, die Vielfachheit einer Nullstelle festzulegen. Wenn der Linearfaktor den Exponent $1$ (bzw. $2$ bzw. $3$ bzw. $n$) hat, dann handelt es sich um eine einfache (bzw. doppelte bzw. dreifache bzw. $n$-fache) Nullstelle.
• Wenn man das Kontrollkästchen [✓] Graph in der Umgebung von Nullstellen aktiviert, dann wird der Funktionsgraph in einer kleinen Umgebung der Nullstellen angezeigt. Mit dem Schieberegler $u$ kann man die Breite der Umgebung einstellen. Den Restgraph erhält man, wenn man das entsprechende Kontollkästchen aktiviert.

Zum Herunterladen: nullstellen_mit_vielfachheit.ggb

Aufgabe 2

Verwende das Applet, um zu erschließen, wie man aus der Linearfaktordarstellung der ganzrationalen Funktion den Verlauf des Funktionsgraphen (in etwa) vorhersagen kann. Untersuche hierzu insbesondere, wie sich die Vielfachheit einer Nullstelle auf den Graph in der Umgebung der Nullstelle auswirkt und wie man den Wechsel der Vorzeichen vorhersagen kann. Formuliere deine Theorie in Form von Regeln.