Lösungen zu Übungen – Nullstellen
Aufgabe 1
Wir betrachten den Fall, dass der Funktionsterm der gegebenen Funktion $f$ als Produkt aus einfachen Teiltermen dargestellt ist.
(a) Ergänze die Nullstellen in der Tabelle.
| Funktion | Nullstellen |
| $f(x) = (x+1)(x-2)(x-4)$ | $x = -1$; $x = 2$; $x = 4$ |
| $f(x) = x(x+4)$ | $x = 0$; $x = -4$ |
| $f(x) = x^2(x-2)(x+2)$ | $x = 0$; $x = 2$; $x = -2$ |
| $f(x) = (x+1)^2(x-1)^2$ | $x = -1$; $x = 1$ |
| $f(x) = (x^2+1)(x-1)$ | $x = 1$; beachte: $x^2+1 > 0$ für alle reellen Zahlen $x$. |
| $f(x) = (x^2+1)(x^4+1)$ | Es gibt keine Nullstellen. |
| $f(x) = (2x-1)(-x+2)$ | $x = 0.5$; $x = 2$ |
| $f(x) = (2x-2)(x+1)^2$ | $x = 1$; $x = -1$ |
(b)
Erläutere die folgende Herleitung der Nullstellen von $f$ mit $f(x) = (2x-2)(x^2-4)$.
$\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & \Leftrightarrow & 2x-2 = 0 \text{ oder } (x^2-4) = 0 \\ & \Leftrightarrow & 2x = 2 \text{ oder } x^2 = 4 \\ & \Leftrightarrow & x = 1 \text{ oder } x = 2 \text{ oder } x = -2 \end{array}$
Hier wird die folgende Regel benutzt: Ein Produkt ergibt Null genau dann, wenn mindestens ein Faktor Null ergibt.
Die Faltore werden in der Herleitung oben einzeln auf Nullstellen untersucht. Hierzu kann man sie geeignet umformen.
(c) Das folge Faktorisierungstool wandelt einen Funktionsterm in ein Produkt aus einfachen Teiltermen um. Benutze es, um die Nullstellen der folgenden Funktionen zu bestimmen.
- $f(x) = x^2 - 1$; Nullstellen: $x = 1$; $x = -1$
- $f(x) = x^3 - x$; Nullstellen: $x = 0; x = 1$; $x = -1$
- $f(x) = x^3 + 1$; Nullstellen: $x = -1$
- $f(x) = x^3 + x^2$; Nullstellen: $x = 0$; $x = -1$
- $f(x) = x^2 - x$; Nullstellen: $x = 0$; $x = 1$
- $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$; Nullstellen: $x = 0$; $x = 2$
Aufgabe 2
-
$f(x) = x^2 - x = x(x - 1)$
Nullstellen: $x = 0, x = 1$ -
$f(x) = x^2 \cdot (2x-4)$
Nullstellen: $x = 0, x = 2$ -
$f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Nullstellen: $x = -1$ -
$f(x) = x^2 - x - 6 = (x + 3)(x - 2)$
Nullstellen: $x = -3, x = 2$ -
$f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 - 2x + 1) = x^2(x-1)^2$
Nullstellen: $x = 0, x = 1$ -
$f(x) = x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$
Nullstellen: $x = 0$
Aufgabe 3
(a) Konstruiere jeweils eine Funktion, die die angegebenen Nullstellen hat.
- $x = 4$ und $x = -2$
- $x = 0$ und $x = 5$
- $x = -1$ und $x = 1$
-
Nullstellen: $x = 4, x = -2$
z.B.: $f(x) = (x - 4)(x + 2)$ -
Nullstellen: $x = 0, x = 5$
z.B.: $f(x) = x(x - 5)$ -
Nullstellen: $x = -1, x = 1$
z.B.: $f(x) = x^2 - 1$
(b) Konstruiere mindestens 3 verschiedene Funktionen, die die angegebenen Nullstellen haben.
-
Nullstelle: $x = 0$
z.B.: $f(x) = x$; $g(x) = x^2$; $h(x) = x^3$ -
Nullstellen: $x = 1, x = 2$
z.B.: $f(x) = (x-1)(x-2)$; $g(x) = (x-1)^2(x-2)$; $h(x) = (x-1)^2(x-2)^2$
Aufgabe 4
Gegeben sind hier verschiedene Funktionsgraphen (s.u.).
Ordne den Graphen die korrekten Funktionsgleichungen zu. Benutze zum Argumentieren die Nullstellen der Funktionen.
Hier die Funktionsgleichungen:
- $f(x) = x^2 - 1$
- $f(x) = x^3 - x$
- $f(x) = x^3$
- $f(x) = x^3 + x^2$
- $f(x) = x^2 - x$
- $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$
| Graph | Nullstellen | Funktionsgleichung |
 |
$x = 0; x = 1$ | $f(x) = x^2 - x$ = x(x-1) |
 |
$x = -1; x = 0$ | $f(x) = x^3 + x^2$ = x^2(x+1) |
 |
$x = -1; x = 0; x = 1$ | $f(x) = x^3 - x$ = x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1) |
 |
$x = -1; x = 1$ | $f(x) = x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ |
 |
$x = 0$ | $f(x) = x^3$ |
 |
$x = 0; x = 1$ | $f(x) = x^3 - 2x^2 + x = x(x^2-2x+1) = x(x-1)^2$ |
Aufgabe 5
Die Gewinne eines Unternehmens lassen sich nach Auskunft von Beratern vereinfacht mit der Funktion $g$ mit $g(x) = -0.1x^3 + 3x^2 + 60x - 800$ beschreiben. Die Variable $x$ gibt die produzierte Ware in Mengeneinheiten an, der zugehörige Gewinn $g(x)$ wird in passenden Geldeinheiten angegeben.
(a) Das Unternehmen möchte wissen, in welchem Bereich mit einem positiven Gewinn zu rechnen ist. Gib dem Unternehmen einen begründeten Ratschlag.
Das Faktorisierungstool liefert $g(x) = -(x-40)(x-10)\dfrac{x+20}{10}$.
Die Funktion $g$ hat dann folgende Nullstellen: $x=40$; $x=10$; $x=-20$.
Der Gewinnbereich beträgt daher $10 \le x \le 40$.
(b) Schätze mit der Grafik oben und den Daten aus (a) ab, wann der maximale Gewinn erzielt wird. Schätze diesen Gewinn auch mit der gegebenen Funktion $g$ ab.
Mit den Nullstellen aus (a) erhält man auch die Skalierung der $x$-Achse. Das Gewinnmaximum liegt ungefährt bei $x = 25$. Den maximalen Gewinn kann man dann abschätzen, indem man $g(25)$ berechnet. Man erhält einen maximalen Gewinn von gerundet 1000 Geldeinheiten.
