Dominante Potenzfunktion
Zur Orientierung
Ziel ist es, das Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ genauer zu untersuchen.
Den Beitrag der Potenzfunktionen untersuchen
Eine ganzrationale Funktion ist aus Potenzfunktionen aufgebaut. In der folgenden Aufgabe sollst du untersuchen, welchen Beitrag die einzelnen Potenzfunktionen am Grenzverhalten leisten.
Aufgabe 1
Im Applet unter der Aufgabe kann man sämtliche Vorfaktoren der Potenzfunktionen variieren. Probiere das zunächst in der Standardansicht aus. Wechsele anschließend zur Ansicht zum Grenzverhalten und variiere auch hier die Vorfaktoren.
Im Applet kann man ganzrationale Funktionen vom Grad $8$ betrachten, wenn $a_8 \neq 0$ gilt. Es ist aber auch möglich, ganzrationale Funktionen vom Grad $7$ zu betrachten. Hierzu muss man $a_8 = 0$ und $a_7 \neq 0$ einstellen. Entsprechend kann man ganzrationale Funktionen vom Grad $6$, $5$, ... untersuchen.
Gehe gezielt vor und untersuche, welche Potenzfunktion innerhalb einer ganzrationalen Funktion das Verhalten für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ bestimmt. Formuliere eine Vermutung.
Zum Herunterladen: beitrag_potenzfunktion.ggb
Aufgabe 2
(a) Betrachte exemplarisch die ganzrationale Funktion $f$ vom Grad $8$ mit
$f(x) = 2x^8 + 5x^7 - 3x^6 - x^5 - 3x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.
Erkläre, dass der Funktionsterm sich so umformen lässt:
$f(x) = x^8 \cdot \left( 2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4} - \frac{1}{x^5} - \frac{2}{x^6} - \frac{2}{x^7} + \frac{5}{x^8} \right)$
Begründe:
Für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ gilt:
$\left(2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4} - \frac{1}{x^5} - \frac{2}{x^6} - \frac{2}{x^7} + \frac{5}{x^8} \right) \rightarrow 2$
und damit$f(x) \rightarrow 2x^8$.
(b) Argumentiere analog bei der ganzrationalen Funktion $f$ vom Grad $7$ mit
$f(x) = -3x^7 + 2x^6 - 2x^4 + x^3 + 4x - 2$.
Aufgabe 3
Ergänze abschließend den Satz über das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Grad n für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$.
Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen
Betrachte eine ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ vom Grad $n$ (d.h. $a_n \neq 0$).
Das Grenzverhalten von $f$ für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ wird dann durch den Term ... bestimmt.
