Eine neue Funktionenklasse
Zur Orientierung
Im letzten Kapitel hast du die Funktionen eines vorgegebenen Funktionenpools selbstständig untersucht und geordnet. In diesem Kapitel geht es darum, die dabei gefundenen strukturellen Zusammenhänge zu präzisieren.
Zum Herunterladen: funktionenpool.ggb
Eine neue Funktionenklasse charakterisieren
Alle Funktionen des vorgegebenen Funktionenpools haben Funktionsterme, die als Brüche aus Polynomen dargestellt sind. Wir führen für solche Funktionen eine neue Bezeichnung ein.
Gebrochenrationale Funktion
Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$, deren Funktionsterm mit zwei Polynomen bzw. ganzrationalen Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ darstellbar ist. Dabei setzen wir voraus, dass die Nennerfunktion $q$ einen Grad $m \geq 1$ hat.
Beachte: Wenn man auch konstante Nennerfunktionen $q(x) = c$ mit einer Konstanten $c \neq 0$ zulässt (wie z.B. $q(x) = 1$), dann spricht man von rationalen Funktionen. Die rationalen Funktionen umfassen dann die ganzrationalen Funktionen und die gebrochenrationalen Funktionen. Wir benötigen diesen verallgemeinerten Begriff hier nicht weiter, weil der Fokus auf der Klasse der gebrochenrationalen Funktion liegt.
Aufgabe 1
Ergänze selbst weitere Beispiele für gebrochenrationale Funktionen.
Beispiele: Gebrochenrationale Funktionen
(a)$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$
(b)$f(x) = \displaystyle{\frac{x}{x^2 + 1}}$
(c)$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2+1}{x}}$
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