Grenzverhalten im Unendlichen
Zur Orientierung
Gebrochenrationale Funktionen können ein ganz unterschiedliches Grenzverhalten im Unendlichen aufweisen. Ziel ist es hier, dieses Grenzverhalten genauer zu untersuchen. Wir betrachten hierzu drei Funktionen aus dem Funktionenpool.
Zum Herunterladen: funktionenpool_asymptoten.ggb
Annäherung an eine Asymptote – Beispiel 1
Beispiel: $x$-Achse als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x-1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow 0$ | $f(x) \rightarrow 0$ |
Aufgabe 1
(a) Überprüfe das Verhalten der Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ mit Testwerten. Berechne hierzu $f(x)$ für einen sehr kleinen $x$-Wert (z.B. $x = -1000$) und für einen sehr großen $x$-Wert (z.B. $x = 1000$).
(b) Begründe das Verhalten der Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ mit Hilfe des Funktionsterm: Wenn $x \rightarrow + \infty$, dann $x-1 \rightarrow \dots$ usw. .
Annäherung an eine Asymptote – Beispiel 2
Beispiel: Parallele zur $x$-Achse als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{x}{x-1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow 1$ | $f(x) \rightarrow 1$ |
Aufgabe 2
(a) Überprüfe das Verhalten der Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ mit Testwerten. Berechne hierzu $f(x)$ für einen sehr kleinen $x$-Wert (z.B. $x = -1000$) und für einen sehr großen $x$-Wert (z.B. $x = 1000$).
(b) Zeige, dass man $f$ auch so darstellen kann: $f(x) = \displaystyle{1 + \frac{1}{x-1}}$. Begründe das Verhalten der Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ mit Hilfe dieses Funktionsterms.
Annäherung an eine Asymptote – Beispiel 3
Beispiel: Gerade $g(x) = x$ als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2+1}{x}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow g(x)$ | $f(x) \rightarrow g(x)$ |
Aufgabe 3
(a) Überprüfe das Verhalten der Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ mit Testwerten. Berechne hierzu $f(x)$ für einen sehr kleinen $x$-Wert (z.B. $x = -1000$) und für einen sehr großen $x$-Wert (z.B. $x = 1000$) und vergleiche die Ergebnisse jeweils mit $g(x)$.
(b) Zeige, dass man $f$ auch so darstellen kann: $f(x) = \displaystyle{x + \frac{1}{x}}$. Begründe das Verhalten der Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ mit Hilfe dieses Funktionsterms.
Zusammenhänge verallgemeinern
In den oben betrachteten Beispielen nähert sich der Graph der betrachteten gebrochenrationalen Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ immer mehr einer Geraden an. Diese Geraden nennt man dann Asymptote zur vorgegebenen Funktion.
Dieses Annäherungsverhalten lässt sich weitern verallgemeinern. Als Asymptote kann auch der Graph einer nichtlineare Funktion dienen.
Beispiel: Funktion $a(x) = x^2$ als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{x^3+1}{x} = x^2 + \frac{1}{x}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ |
Asymptoten gibt es nicht nur bei gebrochenrationalen Funktionen – wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel: Funktion $a(x) = 0$ als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{5}{x} \cdot \sin(x)}; \mathbb{D} = \mathbb{R}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ |
Asymptoten nutzt man, um das Grenzverhaltens von Funktionen im Unendlichen zu beschreiben.
Asymptote einer Funktion
Wenn sich der Graph einer Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ immer mehr dem Graph einer Funktion $a$ annähert, dann nennt man $a$ Asymptote in (positive und negative) $x$-Richtung zur Funktion $f$.
Beachte:
-
Mit
annähern
ist folgenden Zusammenhang gemeint: $\lim\limits_{|x| \rightarrow \infty}{|f(x) - a(x)|} = 0$. Eine Annäherung liegt also auch vor, wenn die Graphen ab einer Stelle identisch sind. - Polgeraden werden oft als senkrechte Asymptoten bezeichnet. Auch hier liegt eine Annäherung vor, aber nicht in $x$-Richtung, sondern in $y$-Richtung.
Die Beispiele oben lassen folgenden Zusammenhang vermuten:
Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen
Das Grenzverhalten einer gebrochenrationalen Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$ kann immer mit einer Asymptote beschrieben werden. Dabei sind folgende Fälle möglich:
- Wenn das Nennerpolynom $q$ einen größeren Grad als das Zählerpolynom $p$ hat, dann ist die Asymptote die $y$-Achse.
- Wenn das Nennerpolynom $q$ und das Zählerpolynom $p$ denselben Grad haben, dann ist die die Asymptote eine Parallele zur $y$-Achse.
- Wenn das Zählerpolynom $p$ einen größeren Grad als das Nennerpolynom $q$ hat, dann ist die Asymptote eine ganzrationale Funktion mit einem Grad größer $0$.
Aufgabe 4
(a) Nutze das folgende Applet zur Polynomdivision und überprüfe exemplarisch die Aussagen im Satz.
Zum Herunterladen: polynomdivision.ggb
(b) Eine Polynomdivision kann man auch selbst durchführen. Man geht dabei wie bei der schriftlichen Division mit natürlichen Zahlen vor. Erläutere das Beispiel.
(x2 - x) : (x + 1) = x - 2 + 2/(x+1)
x2 + x
------
-2x
-2x - 2
-------
2
Auf der Seite Polynomdivision kannst du dir bei Bedarf das Vorgehen im Detail anschauen.
