Zusammenfassung – Grenzverhalten von gebrochenrationalen Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen
Alle im Applet vorgegebenen Funktionen haben Funktionsterme, die als Bruchterme aufgebaut sind.
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Wir führen für solche Funktionen eine neue Bezeichnung ein.
Gebrochenrationale Funktion
Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$, deren Funktionsterm mit zwei Polynomen bzw. ganzrationalen Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ darstellbar ist. Dabei setzen wir voraus, dass die Nennerfunktion $q$ einen Grad $m \geq 1$ hat.
Beachte: Wenn man auch konstante Nennerfunktionen $q(x) = c$ mit einer Konstanten $c \neq 0$ zulässt (wie z.B. $q(x) = 1$), dann spricht man von rationalen Funktionen. Die rationalen Funktionen umfassen dann die ganzrationalen Funktionen und die gebrochenrationalen Funktionen. Wir benötigen diesen verallgemeinerten Begriff hier nicht weiter, weil der Fokus auf der Klasse der gebrochenrationalen Funktion liegt.
Beispiele: Gebrochenrationale Funktionen
(a)$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$
(b)$f(x) = \displaystyle{\frac{x}{x^2 + 1}}$
(c)$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2+1}{x}}$
(d)$f(x) = \displaystyle{\frac{x^3}{x}}$
Grenzverhalten an den Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion
Definitionslücken sind ein gängiges Phänomen bei gebrochenrationalen Funktionen. Sie liegen an Stellen vor, an denen das Nennerpolynom den Wert $0$ hat: Eine gebrochenrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$ hat an der Stelle $x$ eine Definitionslücke, wenn für diese Stelle $q(x) = 0$ gilt. Die Beispielfunktionen im Applet oben zeigen, dass das Grenzverhalten an solchen Defintionslücken ganz unterschiedlich sein kann. Die folgenden Beispiele verdeutlichen die verschiedenen Möglichkeiten.
Beispiel 1: Polstelle mit Vorzeichenwechsel
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x-1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
| $x$ | $x \rightarrow 1; x \lt 1$ Annäherung von links |
$x = 1$ Polstelle mit VZW |
$x \rightarrow 1; x \gt 1$ Annäherung von rechts |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ z.B. $f(0.99) = -100$ |
nicht def. | $f(x) \rightarrow + \infty$ z.B $f(1.01) = 100$ |
Beispiel 2: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^2}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x \rightarrow 0; x \lt 0$ Annäherung von links |
$x = 1$ Polstelle ohne VZW |
$x \rightarrow 0; x \gt 0$ Annäherung von rechts |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ z.B. $f(-0.01) = 10000$ |
nicht def. | $f(x) \rightarrow + \infty$ z.B $f(0.01) = 10000$ |
Beispiel 3: Definitionslücke ohne Pol
$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x+1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
| $x$ | $x \rightarrow -1; x \lt -1$ Annäherung von links |
$x = -1$ Definitionslücke |
$x \rightarrow -1; x \gt -1$ Annäherung von rechts |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow -2$ z.B. $f(-1.01) = -2.01$ |
nicht def. | $f(x) \rightarrow -2$ z.B $f(-0.99) = -1.99$ |
Wir präzisieren den in den Beispielen bereits benutzten Begriff der Polstelle.
Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion
Eine Definitionslücke $x_0$ einer gebrochenrationalen Funktion $f$ heißt Polstelle von $f$ genau dann, wenn die Funktionswerte $f(x)$ bei einer Annäherung von $x$ an $x_0$ gegen $+ \infty$ oder $- \infty$ streben.
Es gilt das folgende Polstellenkriterium.
Polstellenkriterium
Betrachte eine gebrochenrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$ und eine Definitionslücke $x_0$ mit $q(x_0) = 0$. Dann gilt: Wenn $p(x_0) \neq 0$, dann ist die Definitionslücke $x_0$ eine Polstelle von $f$.
Die im Applet dargestellten Funktionen verdeutlichen folgenden Aussagen:
- Eine gebrochenrationale Funktion (wie z.B. $f_3$) kann mehrere Polstellen haben.
- Eine Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion (wie z.B. $f_6$) muss keine Polstelle sein.
- Es gibt gebrochenrationale Funktionen (wie z.B. $f_4$), die keine Definitionslücken haben.
Zum Herunterladen: funktionenpool.ggb
Grenzverhalten im Unendlichen bei gebrochenrationalen Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen können ein ganz unterschiedliches Grenzverhalten im Unendlichen aufweisen. Ziel ist es hier, dieses Grenzverhalten genauer zu untersuchen. Wir betrachten hierzu drei Funktionen aus dem Funktionenpool.
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Beispiel 1: $x$-Achse als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x-1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow 0$ | $f(x) \rightarrow 0$ |
Beispiel 2: Parallele zur $x$-Achse als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{x}{x-1}} = 1 + \frac{1}{x-1}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow 1$ | $f(x) \rightarrow 1$ |
Beispiel 3: Gerade $g(x) = x$ als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow g(x)$ | $f(x) \rightarrow g(x)$ |
In den oben betrachteten Beispielen nähert sich der Graph der betrachteten gebrochenrationalen Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ immer mehr einer Geraden an. Diese Geraden nennt man dann Asymptote zur vorgegebenen Funktion.
Dieses Annäherungsverhalten lässt sich weitern verallgemeinern. Als Asymptote kann auch der Graph einer nichtlineare Funktion dienen.
Beispiel 4: Funktion $a(x) = x^2$ als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{x^3+1}{x} = x^2 + \frac{1}{x}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ |
Asymptoten gibt es nicht nur bei gebrochenrationalen Funktionen – wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 5: Funktion $a(x) = 0$ als Asymptote
$f(x) = \displaystyle{\frac{5}{x} \cdot \sin(x)}; \mathbb{D} = \mathbb{R}$
| $x$ | $x \rightarrow - \infty$ | $x \rightarrow + \infty$ |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ | $f(x) \rightarrow a(x)$ |
Asymptoten nutzt man, um das Grenzverhaltens von Funktionen im Unendlichen zu beschreiben.
Asymptote einer Funktion
Wenn sich der Graph einer Funktion $f$ für $x \rightarrow - \infty$ und $x \rightarrow + \infty$ immer mehr dem Graph einer Funktion $a$ annähert, dann nennt man $a$ Asymptote in (positive und negative) $x$-Richtung zur Funktion $f$.
Beachte:
-
Mit
annähern
ist folgenden Zusammenhang gemeint: $\lim\limits_{|x| \rightarrow \infty}{|f(x) - a(x)|} = 0$. Eine Annäherung liegt also auch vor, wenn die Graphen ab einer Stelle identisch sind. - Polgeraden werden oft als senkrechte Asymptoten bezeichnet. Auch hier liegt eine Annäherung vor, aber nicht in $x$-Richtung, sondern in $y$-Richtung.
Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen
Das Grenzverhalten einer gebrochenrationalen Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$ kann immer mit einer Asymptote beschrieben werden. Dabei sind folgende Fälle möglich:
- Wenn das Nennerpolynom $q$ einen größeren Grad als das Zählerpolynom $p$ hat, dann ist die Asymptote die $y$-Achse.
- Wenn das Nennerpolynom $q$ und das Zählerpolynom $p$ denselben Grad haben, dann ist die die Asymptote eine Parallele zur $y$-Achse.
- Wenn das Zählerpolynom $p$ einen größeren Grad als das Nennerpolynom $q$ hat, dann ist die Asymptote eine ganzrationale Funktion mit einem Grad größer $0$.
Welcher dieser Fälle eintritt kann man mit einer Polynomdivision ermitteln. Das folgende Applet führt die Polynomdivision automatisiert durch. Hier muss man nur das Zähler- und Nennerpolynom eingeben.
Zum Herunterladen: polynomdivision.ggb
Eine Polynomdivision kann man auch selbst durchführen. Man geht dabei wie bei der schriftlichen Division mit natürlichen Zahlen vor.
(x2 - x) : (x + 1) = x - 2 + 2/(x+1)
x2 + x
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-2x
-2x - 2
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Auf der Seite Polynomdivision kannst du dir bei Bedarf das Vorgehen im Detail anschauen.
