Erarbeitung – Symmetriebedingungen
Zur Orientierung
Ziel ist es, Symmetrie bei Funktionsgraphen mit Bedingungen präzise zu erfassen.
Symmetrie bei Funktionsgraphen beschreiben
In der folgenden Aufgabe sollst du die Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen untersuchen.
Aufgabe 1
Betrachte die folgenden Funktionen:
- $f(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$
- $f(x) = x^3 - 3x$
- $f(x) = x^4 - 3x^3$
- $f(x) = x + 2$
Kläre für diese Funktionen folgende Fragen: Welche Graphen sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse? Welche Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$? Welche Graphen habe keine der betrachteten Symmetrieeigenschaften? Wie sieht man das in der jeweiligen Wertetabelle? Nutze das Applet unter der Aufgabe.
Zum Herunterladen: plotter_symmetrie.ggb
Aufgabe 2
Ergänze die folgenden Sätze, mit denen man verallgemeinernd die Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen beschreiben kann:
Achsensymmetrischer Funktionsgraph
Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse genau dann, wenn für alle $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ gilt:
$f(-x) = ...$.
Punktsymmetrischer Funktionsgraph
Der Graph der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$ genau dann, wenn für alle $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ gilt:
$f(-x) = ...$.
Symmetrie nachweisen
Zum Nachweis der Symmetrie von Funktionsgraphen nutzen wir die passenden Symmetriebedingungen.
Aufgabe 3
Ergänze in den Beispielen die Umformungen und nutze die Symmetriebedingungen in den vorangehenden Sätzen zum Symmetrienachweis.
Beispiel: Nachweis von Symmetrie zur $y$-Achse
Betrachte $f(x) = x^2 - 1$.
Es gilt: $f(-x) = (-x)^2 - 1 = \dots$
Also: Graph $f$ ist ...
Beispiel: Nachweis von Symmetrie zum Ursprung
Betrachte $f(x) = 2 \cdot x$.
Es gilt: $f(-x) = 2 \cdot (-x) = \dots$
Also: Graph $f$ ist ...
Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x+1$.
(a) Mache dir zunächst anhand einer Skizze (oder im Applet oben) klar, dass Graph $f$ weder symmetrisch zur $y$-Achse noch symmetrisch zum Usprung ist.
(b)
Es gilt: $f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1$
Hier gelingt es nicht, $f(-x)$ so umzuformen, dass die Bedingung für Symmetrie zur $y$-Achse oder die Bedingung für Symmetrie zum Ursprung erfüllt ist. Warum ist das nur ein Indiz dafür, dass Graph $f$ keine der untersuchten Symmetrieeigenschaften hat?
(c) Hier wird gezeigt, wie man Symmetrieeigenschaften mit den Symmetriebedingungen widerlegt. Erläutere das Verfahren.
Beispiel: Widerlegung von Symmetrieeigenschaften
Betrachte $f(x) = x + 1$.
Da z.B. $f(-2) = -1$ und $f(2) = 3$, erhält man $f(-2) \neq f(2)$. Der Funktionsgraph ist also nicht symmetrisch zur $y$-Achse.
Da z.B. $f(-2) = -1$ und $-f(2) = -3$, erhält man $f(-2) \neq -f(2)$. Der Funktionsgraph ist also nicht symmetrisch zum Ursprung.
