Übungen – Symmetrie von Funktionsgraphen

Aufgabe 1

Entscheide anhand der Funktionsterme, ob Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse oder symmetrisch zum Ursprung ist.

• $f(x) = x - 2$
• $f(x) = -x^4 + 2$
• $f(x) = x^3 - x^2 - x$
• $f(x) = 3x^6 - x^2 - 1$
• $f(x) = -x$
• $f(x) = 0$
• $f(x) = (x + 1) \cdot (x - 1)$
• $f(x) = x \cdot (x^4 - 2x^2 + 2)$

Aufgabe 2

(a) Zeige mit Hilfe der Symmetriebedingung $f(-x) = f(x)$, dass der Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.

• $\displaystyle{f(x) = -x^2}$
• $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x^2}}$
• $\displaystyle{f(x) = \frac{x}{x^3 - x}}$

(b) Zeige mit Hilfe der Symmetriebedingung $f(-x) = -f(x)$, dass der Graph $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.

• $\displaystyle{f(x) = -(x - x^3)}$
• $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}}$
• $\displaystyle{f(x) = \frac{x}{x^2+1}}$

(c) Zeige mit Hilfe von Gegenbeispielen, dass Graph $f$ weder symmetrisch zur $y$-Achse noch symmetrisch zum Ursprung ist.

• $\displaystyle{f(x) = x^2-x}$
• $\displaystyle{f(x) = \frac{x+1}{x-1}}$

Aufgabe 3

Verwende das folgende Applet, um ein Modell für einen Hallenquerschnitt zu erstellen. Der Hallenquerschnitt soll dabei achsensymmetrisch sein. Das Dach soll eine Art Delle haben (vgl. Einstieg – Symmetrieeigenschaften).

Variiere beim Modellieren die Parameter nicht unsystematisch. Gehe stattdessen strategisch sinnvoll vor. Erläutere dein Vorgehen.

Zum Herunterladen: graphengrad4.ggb

Aufgabe 4

Wahr oder falsch? Ziel ist es, die folgenden Aussagen zu beurteilen. Experimentiere zunächst im Applet und stelle Vermutungen auf. Begründe anschließend deine Vermutungen.

A: Wenn Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und Graph $g$ symmetrisch zum Ursprung ist, dann ist der Graph von $h$ mit $h(x) = f(x) \cdot g(x)$

B: Wenn Graph $f$ und Graph $g$ symmetrisch zum Ursprung sind, dann ist der Graph von $h$ mit $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ symmetrisch zur $y$-Achse.

C: Wenn Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, dass ist der Graph von $f'$ symmetrisch zum Ursprung.

Aufgabe 5

(a) Überzeuge dich im Applet, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^2 + 1$ achsensymmetrisch zur Geraden $g: x = 2$ ist. Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $(2|0)$. Ergänze die folgende Bedingung, die diese Achsensymmetrie beschreibt:

$f(2 + x) = \dots$

(b) Überzeuge dich im Applet, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^3 + 1$ punktsymmetrisch zum Punkt $S(2|1)$ ist. Ergänze die folgende Bedingung, die diese Punktsymmetrie beschreibt:

$f(2 + x) - 1 = \dots$

Zum Herunterladen: plotter_symmetrie.ggb