Zusammenfassung – Symmetrie von Funktionsgraphen
Achsensymmetrie zur $y$-Achse
Das Applet zeigt den Entwurf für ein neu zu bauendes Hallenbad. Das Architektenteam:
Für ein harmonisches Bild planen wir einen symmetrischen Querschnitt
.
Zum Herunterladen: plotter_symmetrie_halle1.ggb
Der Funktionsgraph zur Beschreibung der Hallenbadquerschnitts ist symmetrisch zur $y$-Achse. Diese Symmetrieeigenschaft spiegelt sich in der folgenden Symmetriebedingung wider.
Achsensymmetrischer Funktionsgraph
Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse genau dann, wenn für alle $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ gilt: $f(-x) = f(x)$.
Punktsymmetrie zum Ursprung $(0|0)$
Das folgende Applet zeigt einen Funktionsgraph, der punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Zum Herunterladen: plotter_symmetrie_halle2.ggb
Diese Symmetrieeigenschaft spiegelt sich in der folgenden Symmetriebedingung wider.
Punktsymmetrischer Funktionsgraph
Der Graph der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$ genau dann, wenn für alle $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ gilt: $f(-x) = -f(x)$.
Nachweis von Symmetrie bei Funktionen
Die beiden Beispiele zeigen, wie man einen Symmetrienachweis führt.
Beispiel
Betrachte $f(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$
Es gilt: $f(-x) = 0.5(-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = 0.5x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$
Also: Graph $f$ ist symmetrisch zur $y$-Achse.
Beispiel
Betrachte $f(x) = x^7 - 5x^5 + 2x^3 - x$
Es gilt: $f(-x) = (-x)^7 - 5(-x)^5 + 2(-x)^3 - (-x) = -x^7 + 5x^5 - 2x^3 + x = -(x^7 - 5x^5 + 2x^3 - x) = -f(x)$
Also: Graph $f$ ist symmetrisch zum Ursprung.
Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen
Die Symmetrienachweise in den Beispielen zeigen, dass man Symmetrieeigenschaften bei ganzrationalen Funktionen direkt am Funktionsterm erkennen kann.
Symmetrieeigenschften ganzrationaler Funktionen
Wenn in einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen, dann ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Wenn in einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Exponenten vorkommen, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$.
Beispiele
Ganzrationale Funktionen, deren Graphen achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind:
- $f(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1 = 0.5x^4 - 2x^2 + 1x^0$
- $f(x) = x^6 + 3x^2$
- $f(x) = -x^4 -3 = -x^4 -3x^0$
Beispiele
Ganzrationale Funktionen, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$ sind:
- $f(x) = x^3 - 3x$
- $f(x) = -2x^5 + 3x$
- $f(x) = x^7 -5x^5 + 2x^3 - x$
