Grenzverhalten an Definitionslücken
Zur Orientierung
Das hast du sicher bereits festgestellt: Gebrochenrationale Funktionen sind meist nicht für alle reellen Zahlen definiert. Ziel ist es hier, das Verhalten dieser Funktionen an solchen Definitionslücken zu untersuchen. Wir betrachten hierzu drei Funktionen aus dem Funktionenpool.
Zum Herunterladen: funktionenpool_pole.ggb
Polstellen mit Vorzeichenwechsel
Beispiel: Polstelle mit Vorzeichenwechsel
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x-1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
| $x$ | $x \rightarrow 1; x \lt 1$ Annäherung von links |
$x = 1$ Polstelle mit VZW |
$x \rightarrow 1; x \gt 1$ Annäherung von rechts |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ z.B. $f(0.99) = -100$ |
nicht def. | $f(x) \rightarrow + \infty$ z.B $f(1.01) = 100$ |
Aufgabe 1
(a) Erkläre die Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
(b) Die tabellarische Übersicht beschreibt das Verhalten der Funktion $f$ an der Definitionslücke $x = 1$. Verdeutliche das Verhalten am Graph der Funktion. Erläutere, was man unter einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel versteht. Erläutere auch, welche Bedeutung die Polgerade für den Graph der Funktion $f$ hat.
Polstellen ohne Vorzeichenwechsel
Beispiel: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
$f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x^2}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
| $x$ | $x \rightarrow 0; x \lt 0$ Annäherung von links |
$x = 1$ Polstelle ohne VZW |
$x \rightarrow 0; x \gt 0$ Annäherung von rechts |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ z.B. $f(-0.01) = 10000$ |
nicht def. | $f(x) \rightarrow + \infty$ z.B $f(0.01) = 10000$ |
Aufgabe 2
(a) Erkläre die Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
(b) Die tabellarische Übersicht beschreibt das Verhalten der Funktion $f$ an der Definitionslücke $x = 0$. Verdeutliche das Verhalten am Graph der Funktion. Erläutere, was man unter einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel versteht. Erläutere auch, welche Bedeutung die Polgerade für den Graph der Funktion $f$ hat.
Definitionslücke ohne Pol
Beispiel: Definitionslücke ohne Pol
$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x+1}}; \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
| $x$ | $x \rightarrow -1; x \lt -1$ Annäherung von links |
$x = -1$ Definitionslücke |
$x \rightarrow -1; x \gt -1$ Annäherung von rechts |
| $f(x)$ | $f(x) \rightarrow -2$ z.B. $f(-1.01) = -2.01$ |
nicht def. | $f(x) \rightarrow -2$ z.B $f(-0.99) = -1.99$ |
Aufgabe 3
(a) Erkläre die Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
(b) Die tabellarische Übersicht beschreibt das Verhalten der Funktion $f$ an der Definitionslücke $x = -1$. Erläutere anhand des Funktionsterms, warum die Definitionslücke keine Polstelle ist.
(c) Zeige: Die Definitionslücke $x = -1$ ist bei der vorliegenden Funktion sowohl eine Nullstelle der Nennerfunktion als auch eine Nullstelle der Zählerfunktion.
Zusammenhänge verallgemeinern
Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion
Eine Definitionslücke $x_0$ einer gebrochenrationalen Funktion $f$ heißt Polstelle von $f$ genau dann, wenn die Funktionswerte $f(x)$ bei einer Annäherung von $x$ an $x_0$ gegen $+ \infty$ oder $- \infty$ streben.
Aufgabe 4
Begründe das folgende Polstellenkriterium.
Polstellenkriterium
Betrachte eine gebrochenrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}}$ und eine Definitionslücke $x_0$ mit $q(x_0) = 0$. Dann gilt: Wenn $p(x_0) \neq 0$, dann ist die Definitionslücke $x_0$ eine Polstelle von $f$.
Begriffe anwenden
Aufgabe 5
(a) Betrachte die restlichen Funktionen aus dem Funktionenpool. Verwende die eingeführten Begriffe, um vorhandene Definitionslücken zu charakterisieren.
(b) Verdeutliche mit Hilfe der Funktionen aus dem Funktionenpool die folgenden Aussagen:
- Eine gebrochenrationale Funktion kann mehrere Polstellen haben.
- Eine Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion muss keine Polstelle sein.
- Es gibt gebrochenrationale Funktionen, die keine Definitionslücken haben.
Zum Herunterladen: funktionenpool.ggb
