Vertiefung – Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen
Zur Orientierung
Wir nutzen die im letzten Abschnitt entwickelten Symmetriebedingungen, um Symmetrieeigenschaften ganzrationaler Funktionen vorherzusagen.
Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen untersuchen
Betrachte hier gezielt die Graphen ganzrationaler Funktionen.
Aufgabe 1
(a) Vervollständige die Symmetrienachweise.
Beispiel: Symmetrie zur $y$-Achse
Betrachte $f(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$.
Es gilt: $f(-x) = \dots$
Also: Graph $f$ ist symmetrisch zur $y$-Achse.
Beispiel: Nachweis von Symmetrie zum Ursprung
Betrachte $f(x) = 0.2x^5 + 4x^3 - 3x$.
Es gilt: $f(-x) = \dots$
Also: Graph $f$ ist symmetrisch zum Ursprung.
(b) Schaue dir die Funktionsterme in den Beispielen genau an. Fällt dir etwas auf? Stelle eine Vermutung auf.
Aufgabe 2
Ergänze in der folgenden Übersicht weitere Funktionen mit den passenden Symmetrieeigenschaften. Überprüfe die Symmetrieeigenschaften visuell im Applet unter der Übersicht.
| Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse | Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$ |
|---|---|
| $f(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1$ | $f(x) = 0.2x^5 + 4x^3 - 3x$ |
| $\phantom{f(x) = x}$ | |
| $\phantom{f(x) = x}$ | |
| $\phantom{f(x) = x}$ |
Applet zum Überprüfen von Symmetrieeigenschaften:
Zum Herunterladen: plotter_symmetrie.ggb
Aufgabe 3
Die Symmetrieeigenschaften der Graphen ganzrationaler Funktionen hängen davon ab, welche Potenzfunktionen darin vorkommen. Formuliere allgemeine Regeln im folgenden Satz.
Symmetrieeigenschften ganzrationaler Funktionen
Betrachte eine ganzrationale Funktion $f$.
Wenn ..., dann ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Wenn ... vorkommen, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$.
Aufgabe 4
Überprüfe exemplarisch im Applet oben folgende Aussage:
Symmetrieeigenschften ganzrationaler Funktionen
Wenn im Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion sowohl Potenzen mit geraden Exponenten als auch Potenzen mit ungeraden Exponenten auftreten, dann ist der Graph weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
