Zusammenfassung – Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen
Das Grenzverhalten von Funktionen im Unendlichen
Wenn man das Grenzverhalten einer Funktion im Unendlichen untersucht, dann will man Vorhersagen über das Verhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ treffen.
Der Blick auf die Funktion wird so auf folgende Fragen fokussiert: Wie verhält sich die Funktion im „Großen“? Was bleibt übrig, wenn man alles „Kleine“ vernachlässigt? Im folgende Applet kann man mit den Schaltflächen diesen Blickwechsel experimentell vollziehen.
Zum Herunterladen: graphen_grenzverhalten.ggb
Den Beitrag der Potenzfunktionen zum Grenzverhalten
Eine ganzrationale Funktion ist aus Potenzfunktionen aufgebaut. Das folgende Beispiel zeigt, welchen Beitrag die einzelnen Potenzfunktionen zum Grenzverhalten leisten.
Beispiel: Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion
Betrachte exemplarisch die folgende ganzrationale Funktion $f$ vom Grad $8$:
$f(x) = 2x^8 + 5x^7 - 3x^6 - x^5 - 3x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.
Der Funktionsterm lässt sich so umformen:
$f(x) = x^8 \cdot \left( 2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4} - \frac{1}{x^5} - \frac{2}{x^6} - \frac{2}{x^7} + \frac{5}{x^8} \right)$
Für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ gilt:
$\left(2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4} - \frac{1}{x^5} - \frac{2}{x^6} - \frac{2}{x^7} + \frac{5}{x^8} \right) \rightarrow 2$
Hieraus folgt: Für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ verhält sich $f(x)$ wie der dominate Teilterm $2x^8$.Schreibweise: $\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}{2x^8}$
Die Überlegungen im Beispiel lassen sich auf beliebige ganzrationale Funktionen übertragen.
Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen
Betrachte eine ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ vom Grad $n$ (d.h. $a_n \neq 0$).
Das Grenzverhalten von $f$ für $x \rightarrow - \infty$ bzw. $x \rightarrow + \infty$ wird dann durch den Term $a_n x^n$ bestimmt. Hierfür schreiben wir:
$\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}{a_n x^n}$
Im folgenden Applet kann man diesen Zusammenhang experimentell überprüfen. Wechsle hierzu von der [Standardansicht] in die Ansicht zum [Grenzverhalten].
Zum Herunterladen: beitrag_potenzfunktion.ggb
Das Grenzverhalten von Potenzfunktionen mit Vorfaktoren
Für das Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion ist der Exponent und der Vorfaktor der dominaten Potenzfunktion entscheidend. Für solche Faktor-Potenz-Kombinationen erhält man folgende Ergebnisse zum Grenzverhalten.
Grenzverhalten von Potenzfunktionen mit Vorfaktoren
| Funktion | Verhalten für $x \rightarrow - \infty$ | Verhalten für $x \rightarrow + \infty$ |
|---|---|---|
|
$f(x) = a x^n$ wobei $n$ gerade und $a > 0$ |
$f(x) \rightarrow + \infty$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ |
|
$f(x) = a x^n$ wobei $n$ ungerade und $a > 0$ |
$f(x) \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ |
|
$f(x) = a x^n$ wobei $n$ gerade und $a \text{ < } 0$ |
$f(x) \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ |
|
$f(x) = a x^n$ wobei $n$ ungerade und $a \text{ < } 0$ |
$f(x) \rightarrow + \infty$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ |
Die im Satz formulierten Zusammenhänge kann man experimentell im folgenden Applet überprüfen.
Zum Herunterladen: potenzfunktionen.ggb
Anwendung der Zusammenhänge zum Grenzverhalten
Betrachte noch einmal die Funktionen im Applet.
Zum Herunterladen: graphen_grenzverhalten.ggb
Mit den Zusammenhängen zum Grenzverhalten von ganzrationalen Funktionen kann man jetzt die Funktiongraphen den Funktionsgleichungen passend zuordnen.
| Funktionsterm | A | B | C | D |
| dominanter Term | $\frac{1}{100}x^5$ | $-\frac{1}{800}x^8$ | $-\frac{1}{700}x^7$ | $\frac{1}{60}x^6$ |
| Verhalten für $x \rightarrow + \infty$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ |
| Verhalten für $x \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow - \infty$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ | $f(x) \rightarrow + \infty$ |
| Graph | $f_3$ | $f_2$ | $f_4$ | $f_1$ |
