Lösungen zu Übungen – Symmetrie von Funktionsgraphen
Aufgabe 1
Entscheide anhand der Funktionsterme, ob Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse oder symmetrisch zum Ursprung ist.
- $f(x) = x - 2$ (weder symmetrisch zur $y$-Achse noch symmetrisch zum Ursprung)
- $f(x) = -x^4 + 2$ (symmetrisch zur $y$-Achse)
- $f(x) = x^3 - x^2 - x$ (weder symmetrisch zur $y$-Achse noch symmetrisch zum Ursprung)
- $f(x) = 3x^5 - x$ (symmetrisch zum Ursprung)
- $f(x) = -x$ (symmetrisch zum Ursprung)
- $f(x) = 0$ (symmetrisch zur $y$-Achse und zum Ursprung)
- $f(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) = x^2 - 1$ (symmetrisch zur $y$-Achse)
- $f(x) = x \cdot (x^4 - 2x^2 + x) = x^5 - 2x^3 + x^2$ (weder symmetrisch zur $y$-Achse noch symmetrisch zum Ursprung)
Aufgabe 2
(a) Zeige mit Hilfe der Symmetriebedingung $f(-x) = f(x)$, dass der Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
-
$\displaystyle{f(x) = -x^2}$
$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f(x)$ -
$\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x^2}}$
$\displaystyle{f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)}$ -
$\displaystyle{f(x) = \frac{x}{x^3 - x}}$
$\displaystyle{f(-x) = \frac{-x}{(-x)^3 - (-x)} = \frac{-x}{-x^3 + x} = \frac{(-1) \cdot x}{(-1) \cdot (x^3 - x)} = \frac{x}{x^3 - x} = f(x)}$
(b) Zeige mit Hilfe der Symmetriebedingung $f(-x) = -f(x)$, dass der Graph $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.
-
$\displaystyle{f(x) = -(x - x^3)}$
$f(-x) = -(-x - (-x)^3) = x - x^3 = -f(x)$ -
$\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}}$
$\displaystyle{f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)}$ -
$\displaystyle{f(x) = \frac{x}{x^2+1}}$
$\displaystyle{f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)}$
(c) Zeige mit Hilfe von Gegenbeispielen, dass Graph $f$ weder symmetrisch zur $y$-Achse noch symmetrisch zum Ursprung ist.
-
$\displaystyle{f(x) = x^2-x}$
Betrachte z.B. $x = 1$: $f(-1) = 2 \neq 0 = f(1)$
Betrachte z.B. $x = 1$: $f(-1) = 2 \neq 0 = -f(1)$ -
$\displaystyle{f(x) = \frac{x+1}{x-1}}$
Betrachte z.B. $x = 2$: $f(-2) = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{1} = f(2)$
Betrachte z.B. $x = 2$: $f(-2) = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \neq -\frac{3}{1} = -f(2)$
Aufgabe 3
Verwende das folgende Applet, um ein Modell für einen Hallenquerschnitt zu erstellen. Der Hallenquerschnitt soll dabei achsensymmetrisch sein. Variiere die Parameter nicht unsystematisch, sonder dabei strategisch sinnvoll vor. Erläutere dein Vorgehen.
Die Parameter $a_3$ und $a_1$ müssen auf dem Wert $0$ gesetzt werden, damit der Graph symmetrisch zur $y$-Achse wird.
Der Parameter $a_0$ beschreibt die Höhe
der Halle und sollte daher einen positiven Wert haben.
Der Parameter $a_4$ sollte einen negativen Wert haben, damit der Graph nach unten geöffnet ist.
Der Wert $a_4$ sollte betragsmäßig klein sein, damit die Halle nicht zu groß wird.
Um eine Delle
im Dach zu erzeugen braucht man einen positven Wert für $a_2$.
Das Applet zeigt möglich Einstellungen der Parameter.
Zum Herunterladen: graphengrad4loesung.ggb
Aufgabe 4
Wahr oder falsch? Beurteile folgende Aussagen und begründe jeweils.
A: Wenn Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und Graph $g$ symmetrisch zum Ursprung ist, dann ist der Graph von $h$ mit $h(x) = f(x) \cdot g(x)$
B: Wenn Graph $f$ und Graph $g$ symmetrisch zum Ursprung sind, dann ist der Graph von $h$ mit $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ symmetrisch zur $y$-Achse.
C: Wenn Graph $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, dass ist der Graph von $f'$ symmetrisch zum Ursprung.
A: Wenn $f$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und Graph $g$ symmetrisch zum Ursprung ist, dann gilt $f(-x) = f(x)$ und $g(-x) = -g(x)$. Für die Funktion $h$ gilt dann: $h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = - f(x) \cdot g(x) = - h(x)$. Graph $h$ ist also symmetrisch zum Ursprung.
B: Wenn $f$ und Graph $g$ symmetrisch zum Ursprung sind, dann gilt $f(-x) = -f(x)$ und $g(-x) = -g(x)$. Für die Funktion $h$ gilt dann: $h(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)}$. Graph $h$ ist also symmetrisch zur $y$-Achse.
C: Für die Steigung der Sekante durch $P(x|f(x))$ und $Q(x+h|f(x+h))$ gilt: $\displaystyle{m_{PQ} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$.
Wenn man diese Sekante an der $y$-Achse spiegelt, erhält man eine Sekante durch die gespiegelten Punkte $P'(-x|f(x))$ und $Q'(-(x+h)|f(x+h))$.
Für die Steigung dieser Sekante gilt: $\displaystyle{m_{P'Q'} = \frac{f(x+h)-f(x)}{-(x+h)-(-x)}} = \frac{f(x+h)-f(x)}{-h}$.
Es gilt also $m_{P'Q'} = - m_{PQ}$ für beliebige Punkte $P$ und $Q$ auf Graph $f$. Hieraus folgt:
$\begin{array}{lcl} m_{P'Q'} & = & - m_{PQ} \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \downarrow \\ f'(-x) & = & -f'(x) \end{array}$
Graph $f'$ ist also symmetrisch zum Ursprung.
Aufgabe 5
(a) Überzeuge dich im Applet, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^2 + 1$ achsensymmetrisch zur Geraden $g: x = 2$ ist. Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $(2|0)$. Ergänze die folgende Bedingung, die diese Achsensymmetrie beschreibt:
$f(2 + x) = \dots$
(a) Überzeuge dich im Applet, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^3 + 1$ punktsymmetrisch zum Punkt $S(2|1)$ ist. Ergänze die folgende Bedingung, die diese Punktsymmetrie beschreibt:
$f(2 + x) - 1 = \dots$
(a) Überzeuge dich im Applet, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^2 + 1$ achsensymmetrisch zur Geraden $g: x = 2$ ist. Die Gerade $g$ verläuft parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $(2|0)$. Ergänze die folgende Bedingung, die diese Achsensymmetrie beschreibt und verdeutliche sie anhand einer Skizze:
$f(2 + x) = f(2 - x)$
Zum Herunterladen: achsensymmetrie.ggb
(a) Überzeuge dich im Applet, dass der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = (x-2)^3 + 1$ punktsymmetrisch zum Punkt $S(2|1)$ ist. Ergänze die folgende Bedingung, die diese Punktsymmetrie beschreibt:
$f(2 + x) - 1 = - (f(2 - x) - 1)$
Zum Herunterladen: punktsymmetrie.ggb
