Einstieg - Die Ausgangssituation
Ein Verfahren verallgemeinern
In den Erkundungskapiteln wurde ein Verfahren entwickelt, mit dem man momentane Downloadraten bzw. Momentangeschwindigkeiten bestimmen kann, wenn der Download bzw. die Autofahrt mit einer Funktion beschrieben ist.
Beispiel: momentane Downloadrate
Die momentane Downloadrate an einem Zeitpunt $x_0$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem man die die mittlere Downloadrate $m(x_0, x_0+h)$ für immer kleinere Schrittweiten $h$ betrachtet.
Für die Funktion zur Beschreibung des Downloadprozesses erhält man für $x_0 = 4$:
$\begin{array}{lll} m(x_0, x_0+h) & \text{mittlere Downloadrate}\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad \;\;\; 1 & \text{momentane Downloadrate} \end{array}$
Beispiel: Momentangeschwindigkeit
Die Momentangeschwindigkeit an einem Zeitpunt $x_0$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem man die die mittlere Geschwindigkeit $m(x_0, x_0+h)$ für immer kleinere Schrittweiten $h$ betrachtet.
Für die Zeit-Weg-Funktion zur Autofahrt erhält man für $x_0 = 12$:
$\begin{array}{lll} m(x_0, x_0+h) & \text{mittlere Geschwindigkeit}\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad 14.725 & \text{Momentangeschwindigkeit} \end{array}$
Zielsetzung
In den folgenden Abschnitten lassen wir die Kontexte weg und verwenden das Verfahren bei beliebigen Funktionen. Dabei führen wir mit dem Ableitungsbegriff das zentrale Konzept der Differentialrechnung ein.
