Übungen - Tangenten an Funktionsgraphen
Aufgabe 1: Tangentensteigungen und Ableitungen vergleichen
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 1$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
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(a)
Gesucht ist die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(1|0)$.
Positioniere die Punkte $A$ und $B$ so, dass die Gerade $t$ den Funktionsgraph $f$ im Punkt $P$ berührt
–
dass also $t$ eine Tangente an Graph $f$ durch $P$ darstellt. Kontrolliere, indem du den Graph um $P$ stark vergrößerst.
Beachte, dass das Applet so eingestellt ist, dass die beiden Punkte $A$ und $B$ nur ganzzahlige Koordinaten haben können.
Berechne mit Hilfe der Koordinaten die Steigung der Tangente $t$. Vergleiche sie mit der Ableitung $f'(x_0)$ mit dem passend gewählten $x_0$.
Dokumentiere die Ergebnisse – z.B. so:
geg.: $f(x) = x^2-1$ und $P(1|0)$
Meine Wahl der Punkte: $A(\dots|\dots)$ und $B(\dots|\dots)$
Steigung der Tangente $m_t = \dfrac{\dots}{\dots} = \dots$
Zum Vergleich: $f'(\dots) = \dots$.
(b) Bestimme analog Tangenten an Graph $f$ durch die Punkte $P(2|3)$, $P(0|-1)$ und $P(-1|0)$ Dokumentiere jeweils die Ergebnisse.
Aufgabe 2: Tangenten mit Hilfe von Ableitungen bestimmen
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x^2$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: tangente1b.ggb
(a) Im Applet wird jeweils mit Hilfe der Ableitung die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$ angezeigt. So wird für $P(3|0)$ die Steigung $m = f'(3) = 9$ angezeigt. Nutze diese Information, um die Punkte $A$ und $B$ so zu platzieren, dass die Gerade $t$ durch A und B die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ darstellt. Du kannst bei Bedarf den Graph verschieben. Dokumentiere die Ergebnisse – z.B. so:
geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(3|0)$
Bed.: $m_t = f'(3) = 9$
Meine Wahl der Punkte: $A(\dots|\dots)$ und $B(\dots|\dots)$
(b) Gehe analog vor für $P(2|-4)$, $P(1|-2)$ und $P(0|0)$.
(c) Stimmen die folgenden Aussagen? Gleiche sie mit den Ergebnissen aus (a) und (b) ab.
-
Eine Tangente an einen Funktiosgraph hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Funktionsgraph.
-
Die Tangente an Graph $f$ durch einen Punkt $P$ darf den Graph im Punkt $P$ nicht schneiden.
Aufgabe 3: Tangenten mit Hilfe von Ableitungen bestimmen
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x^2$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: tangente1b.ggb
(a) Im Applet wird jeweils mit Hilfe der Ableitung die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$ angezeigt. So wird für $P(3|0)$ die Steigung $m = f'(3) = 9$ angezeigt. Nutze diese Information, um die Punkte $A$ und $B$ so zu platzieren, dass die Gerade $t$ durch A und B die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ darstellt. Du kannst bei Bedarf den Graph verschieben. Dokumentiere die Ergebnisse – z.B. so:
geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(3|0)$
Bed.: $m_t = f'(3) = 9$
Meine Wahl der Punkte: $A(\dots|\dots)$ und $B(\dots|\dots)$
(b) Gehe analog vor für $P(2|-4)$, $P(1|-2)$ und $P(0|0)$.
(c) Stimmen die folgenden Aussagen? Gleiche sie mit den Ergebnissen aus (a) und (b) ab.
-
Eine Tangente an einen Funktiosgraph hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Funktionsgraph.
-
Die Tangente an Graph $f$ durch einen Punkt $P$ darf den Graph im Punkt $P$ nicht schneiden.
Aufgabe 3: Punkte mit vorgegebenen Ableitungen bestimmen
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{1}{12}x^3 + x + 2$. Bearbeite die Aufgabe unterhalb des Applets.
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Gesucht ist ein Punkt $P$ auf Graph $f$ mit $f'(x_0) = 0.75$.
Im Applet kann man den Punkt $P$ nur so einstellen, dass seine $x$-Koordinate ganzzahlig ist.
Überlege dir zunächst, welche ganzzahligen $x$-Koordinaten für $P$ überhaupt nur in Frage kommen.
Stelle $P$ passend ein und Konstruiere anschließend eine Tangente an Graph $f$ durch $P$. Kontrolliere, ob die
Tangente die richtige
Steigung hat.
Aufgabe 4: Verallgemeinerung des Tangentenkonzepts
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$. Der Graph dieser Funktion beschreibt einen Halbkreis. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
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(a) Blende im Applet zunächst die [Tangente] ein. Diese ist hier geometrisch mit dem in der Sekundarstufe I entwickelten Verfahren konstruiert. Beschreibe dieses geometrische Verfahren. Die Hilfsline hilft dir dabei.
(b) Blende jetzt die [Sekante] ein. Wenn du $h$ sehr klein wählst, dann stimmt die Sekantensteigung recht gut mit der Ableitung von $f$ im Punkt $P$ überein. Die Sekante selbst entspricht bei sehr kleinem $h$ in etwa der Tangente an Graph $f$ im Punkt $P$. Man sagt, dass die Tangente mit diesem Verfahren analytisch konstruiert wird. Vergleiche die Ergebnisse der beiden Verfahren.
