Übungen - Herleitung von Ableitungen

Aufgabe 1: Eine Formel für Ableitungen herleiten

Wir betrachten die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2+1$. F. behauptet, dass man für die Ableitung die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ erhält.

(a) Kontrolliere die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ zunächst anhand von Beispielen im Applet unter der Aufgabe. Blende hierzu $f'(x_0)$ ein und betrachte verschiedene $x_0$-Werte.

(b) Im Strukturierungskapitel wurde gezeigt, dass für die Quadratfunktion $h(x) = x^2$ die Formel $h'(x_0) = 2x_0$ gilt. Blende $h(x)$ im Applet ein und Aktiviere den [Start]-Button. Begründet, dass die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ plausibel ist.

(c) Leite die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ her.

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Aufgabe 2: Eine Formel für Ableitungen herleiten

Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$.

(a) Erstelle zunächst mithilfe des Applets unter der Aufgabe eine Wertetabelle für die Ableitungsfunktion $f'$. Stelle dann eine Vermutung auf, wie die Formel für $f'(x_0)$ lauten müsste.

$x_0$	-2	-1	0	1	2
$f'(x_0)$

(b) Leite die Formel für $f'(x_0)$ her.

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Aufgabe 3: Eine Formel für Ableitungen herleiten

Betrachte die lineare Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = 0.5x+1$.

(a) Das Applet unter der Aufgabe liefert dir sofort die Formel $f'(x_0) = \dots$. Begründe diese Formel mit der geometrischen Deutung der Ableitung.

(b) Leite die Formel für $f'(x_0)$ her.

(c) Verallgemeinere das Ergebnis: Für eine lineare Ausgangsfunktion $f(x) = mx + b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'(x_0) = \dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.

(d) Betrachte auch diesen Sonderfall: Für eine konstante Ausgangsfunktion $f(x) = b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'(x_0) = \dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.

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