Vertiefung - Rechnerische Bestimmung

Die Ableitung $f'(x_0)$ rechnerisch bestimmen

Im den letzten Abschnitten wurde folgendes Ergebnis erzielt.

Wir sind dabei experimentell vorgegangen und haben mittlere Änderungsraten für immer kleinere Schrittweiten bestimmt. Die Übersicht zeigt einige der dabei erzielten Ergebenisse.

Schrittweite	mittlere Änderungsrate
$h = 1$	$m(1, 2) = 3$
$h = 0.1$	$m(1, 1.1) = 2.1$
$h = 0.01$	$m(1, 1.01) = 2.01$
$h = 0.001$	$m(1, 1.001) = 2.001$
$h = 0.0001$	$m(1, 1.0001) = 2.0001$
...
$h$	$m(1, 1+h) = \dots$

Aufgabe 1

(a) Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Änderungsrate direkt mit einer Formel berechnen kann, und schreibe sie in die unterste Zeile in der Tabelle.

(b) Ziel ist es, eine Formel für $m(1, 1+h)$ herzuleiten. Setze hierzu die bereits begonnene Herleitung fort.

$\begin{array}{lcl} m(1, 1+h) & = & \displaystyle{\frac{f(1+h) - f(1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(1+h)^2 - 1^2}{h}} \\ & = & ... \end{array}$

Tipp

Benutze eine binomische Formel und vereinfache dann den Term.

Kontrolle

$\begin{array}{lcl} m(1, 1+h) & = & \displaystyle{\frac{f(1+h) - f(1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(1+h)^2 - 1^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(1+2h+h^2) - 1}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2h+h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h\cdot(2+h)}{h}} \\ & = & \displaystyle{2+h} \end{array}$

(c) Mit der Formel für $m(1, 1+h)$ kannst du jetzt $f'(1)$ bestimmen. Ergänze hierzu die folgende Übersicht.

$\begin{array}{lll} m(1, 1+h) & = & 2+h\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & & \quad \downarrow h \rightarrow 0\\ \qquad f'(1) & = & \end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{lll} m(1, 1+h) & = & 2+h\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & & \quad \downarrow h \rightarrow 0\\ \qquad f'(1) & = & \quad 2 \end{array}$

Aufgabe 2

Verallgemeinere das Vorgehen aus dem letzten Abschnitt.

(a) Entwickle zunächst eine Formel für $m(x_0, x_0+h)$.

Kontrolle

$m(x_0, x_0+h) = 2x_0 + h$

(b) Mit der Formel für $m(x_0, x_0+h)$ kannst du jetzt $f'(x_0)$ bestimmen. Betrachte den Grenzprozess $h \rightarrow 0$.

Kontrolle

$\begin{array}{lll} m(x_0, x_0+h) & = & 2x_0+h\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & & \quad \downarrow h \rightarrow 0\\ \qquad f'(x_0) & = & \quad 2x_0 \end{array}$