Übungen - Ableitung und Steigung in einem Punkt
Aufgabe 1: Ableitungen näherungsweise bestimmen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$.
Zum Herunterladen: ableitung5a.ggb
(a) Bestimme die Ableitung $f'(x_0)$ für die Stelle $x_0 = 0$ mit dem Annäherungsverfahren. Gib für $h$ einen geeigneten Wert ein und blende die Koordinaten der Punkte P und Q ein. Beachte, dass die Koordinaten evtl. gerundete Werte sind. Berechne mit diesen Koordinaten einen Näherungswert für $f'(x_0)$. Stelle einer Vermutung über den genauen Wert von $f'(x_0)$ auf.
(b) Bestimme analog die Ableitung $f'(1)$ und $f'(2)$ (bzw. $f'(x_0)$ für die Stellen $x_0 = 1$ und $x_0 = 2$).
(c) Stelle zuerst Vermutungen über die Werte von $f'(-1)$ und $f'(-2)$ auf. Überprüfe sie mit dem Annäherungsverfahren.
Aufgabe 2: Ableitungen näherungsweise bestimmen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.5x^2 - x$. Bestimme die Ableitung $f'(x_0)$ für die Stellen $x_0 = 1$, $x_0 = 2$ und $x_0 = -1$ mit dem Annäherungsverfahren. Dokumentiere deine Rechnungen, z.B. so:
Für $x_0 = 1$ und $h = 0.01$ erhält man:
$m(1,1.01) = \displaystyle{\frac{f(1.01)-f(1)}{0.01}} \approx \dots$
Vermutung: $f'(-1) = \dots$.
Kontrolliere die Ergebnisse im folgenden Applet.
Aufgabe 3: Steigungen des Graphen abschätzen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 2x^2$.
Zum Herunterladen: ableitung5c.ggb
Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht? Begründe mit Hilfe des Funktionsgraphen.
- $f'(0) = 0$
- $f'(0.5) = 1$
- $f'(1) = -1$
- $f'(-1) = -1$
- $f'(1.5) = 8$
- $f'(-0.5) = 1$
Aufgabe 4: Steigungen des Graphen abschätzen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$.
Zum Herunterladen: ableitung5d.ggb
Wahr oder falsch? Begründe mit Hilfe des Funktionsgraphen.
- $f'(1) > 0$
- $f'(-0.5) > 1$
- $f'(-2) \text{ < } f'(-1)$
- $f'(2) \text{ < } f'(1)$
- $f'(-1) = f'(1)$
Benutze die Einblendmöglichkeiten im Applet zur Kontrolle.
Aufgabe 5: Ableitung bei linearen Funktionen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x+1$.
Zum Herunterladen: ableitung5e.ggb
(a) In der Sekundarstufe I hast du gelernt: Graph $f$ ist eine Gerade mit der Steigung $m = 2$. Erkläre, wie man diese Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmt.
(b) Verdeutliche im Applet: Für jede Stelle $x_0$ erhält man $f'(x_0) = 2$. Das bedeutet: In jedem Punkt von Graph $f$ erhält man mit der Ableitung die Steigung $2$.
(c) Erläutere die folgende Aussage: Der mit Hilfe der Ableitung verallgemeinerte Steigungsbegriff stimmt für lineare Funktionen mit dem Steigungsbegriff aus der Sekundarstufe I überein.
