Erarbeitung - Geometrische Deutung
Leitfrage
Wie kann man die Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ geometrisch deuten?
Die Ableitung $f'(x_0)$ geometrisch deuten – Version 1
Wir betrachten weiterhin das folgende Beispiel. Im letzten Abschnitt wurde folgendes Ergebnis erzielt.
Beispiel: Quadratfunktion
Um die Ableitung $f'(x_0)$ an einer Stelle $x_0$ zu bestimmen, nutzt man ein Annäherungsverfahren. Man wählt immer kleinere Schrittweiten $h$ an der betrachteten Stelle und bestimmt für die betreffenden Intervalle die mittlere Änderungsrate.
$\begin{array}{lll} m(x_0, x_0+h) & \text{mittlere Änderungsrate}\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$
Für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und die Stelle $x_0 = 1$ erhält man $f'(x_0) = 2$.
Im folgenden Applet kann man den Grenzprozess durchspielen.
Aufgabe 1
Mache dir das Vorgehen zur Bestimmung von $f'(x_0)$ noch einmal anhand des Applets klar. Betrachte die im Beispiel vorgegebene Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 1$.
(a) Mit den Schaltflächen [h = 1] bzw. [h = -1] und [h verkleinern] kann man den Prozess $h \rightarrow 0$ durchführen. Aktiviere zunächst die Ausgangsschrittweite [h = 1] (für eine Annäherung von rechts) bzw. [h = -1] (für eine Annäherung von links). Aktiviere anschließend mehrfach die Schaltfläche [h verkleinern] und beobachte, wie hierdurch ...
- ... der Wert von $h$ sich verändert,
- ... Q sich auf P zu bewegt,
- ... der Wert $m(x_0,x_0+h)$ sich stabilisiert.
(b) Die mittleren Änderungsraten $m(x_0,x_0+h)$ kann man geometrisch als Sekantensteigungen deuten. Blende die [Sekanten] ein. Beobachte, wie sich bei dem Annäherungsprozess mit dem Wert $m(x_0,x_0+h)$ auch die Lage der Sekante stabilisiert.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop1.ggb
Aufgabe 2
Schalte im Applet jetzt das Mikroskop
ein. Es zeigt eine Ausschnittsvergrößerung um den Punkt P.
Beachte: Wenn man die Schaltfläche [h verkleinern] aktiviert, dann rückt Q näher an P heran. Das sieht man im linken Fenster.
Im rechten Fenster wird bei jeder Aktivierung der Ausschnitt um P so vergrößert, dass man beide Punkte P und Q sehen kann.
(a) Blende im Applet die [Sekante] aus. Aktiviere die Schaltfläche [h = 1]. Man sieht dann deutlich, dass der Graph der Funktion $f$ gekrümmt ist. Aktiviere jetzt mehrfach die Schaltfläche [h verkleinern] und beobachte die Ausschnittsvergrößerung des Graphen im Mikroskop. Blende die [Sekante] wieder ein. Kann man im vergrößerten Ausschnitt noch einen Unterschied zwischen der geraden Sekante und dem gekrümmten Funktionsgraph erkennen?
(b) Im Applet kann man den Punkt P auf dem Graph hin und her bewegen. Verdeutliche im Applet das folgende interessante Phänomen.
Beobachtung
Wenn man den gekrümmten Graph im vorgegebenen Beispiel stark vergrößert, dann zeigt sich die Krümmung des Graphen immer weniger. Bei sehr starker Vergrößerung ist der Graph lokal um $P$ fast gerade und es macht daher Sinn, von der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ zu sprechen.
(c) Verdeutliche anhand des Applets, dass die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ der Ableitung der Ableitung $f'(x_0)$ entspricht.
(d) Sichere die Ergebnisse auf dem Wissensspeicher.
Den Steigungsbegriff verallgemeinern
In der folgenden Definition wird das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts zusammengefasst.
Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $x_0$ bzw. im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ entspricht der Ableitung $f'(x_0)$. Man erhält sie als Grenzwert von Sekantensteigungen, wenn der Punkt $Q$, der zusammen mit Punkt $P$ die Sekante festlegt, sich immer mehr dem Punkt $P$ nähert. Wir setzen dabei voraus, dass sich bei dem Grenzprozess die Werte der Sekantensteigungen stabilisieren.
Beachte, dass in dieser Definition festgelegt wird, was man unter der Steigung eines (gegebenenfalls gekrümmten) Funktionsgraphen in einem Punkt versteht. Der zunächst nur für Geraden festgelegte Steigungsbegriff wird hierdurch verallgemeinert. Die Beobachtungen mit dem Funktionenmikroskop zeigen, dass die Definition in der Regel sinnvoll ist. Ausnahmen von der Regel werden wir im Kapitel Differenzierbarkeit betrachten.
Die Ableitung $f'(x_0)$ geometrisch deuten – Version 2
Für eine weitere geometrische Deutung der Ableitung $f'(x_0)$ verwenden wir ein etwas abgewandeltets Applet (siehe unten).
Aufgabe 3
(a)
Mit den Schaltflächen [h = 1] bzw. [h = -1] kann man die Ausgangswerte für $h$ festlegen.
Mit der Schaltfläche [h $\rightarrow$ 0] kann man den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchführen.
Beobachte, wie sich die Sekanten dabei immer mehr im Punkt P an den Funktionsgraph anschmiegen
.
(b) Begründe, dass es im Grenzfall $h = 0$ keine Sekante gibt. Beobachte, wie im Applet im Grenzfall $h = 0$ statt einer Sekante eine (blau eingefärbte) Gerade angezeigt wird. Diese (blau eingefärbte) Gerade hat die Steigung $f'(x_0)$ – also dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P$. Sie berührt Graph $f$ im Punkt $P$ und wird daher als Tangente an Graph $f$ angesehen.
(c)
Führe mit der Schaltfläche [h $\rightarrow$ 0] den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durch.
Bewege anschießend den Punkt P auf Graph $f$ hin und her.
Beobachte dabei, wie sich die blau eingefärbte Gerade jeweils an Graph $f$ anschmiegt
.
(d) Sichere die Ergebnisse auf dem Wissensspeicher.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop2.ggb
Den Tangentenbegriff verallgemeinern
Die Beobachtungen im Applet werden hier genauer beschrieben.
Tangente an einen Funktionsgraphen
Die Tangente an einen Funktionsgraphen durch den Punkt $P$ des Funktionsgraphen ist die Gerade, die dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph im Punkt $P$ hat.
Beachte, dass in dieser Definition festgelegt wird, was man unter der Tangente an einen Funktionsgraphen versteht. Der in der Sekundarstufe I zunächst nur für Kreise festgelegte Tangentenbegriff wird hierdurch verallgemeinert.
Man kann die Ableitung also auch so geometrisch deuten:
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt geometrisch die Steigung der Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(x_0|f(x_0))$.
