Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff
Die Grundidee
Mit der Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ beschreibt man die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle $x_0$.
Anleitung für das Applet
- Im Applet kann man die Funktion selbst festlegen. Hierzu gibt man den Funktionsterm im entsprechenden Eingabefenster ein.
- Die betrachtete Stelle $x_0$ kann man ebenfalls mit einer geeigneten Eingabe selbst festlegen.
- Die Schrittweite $h$ wird mit dem Schieberegler eingestellt. Beachte, dass man positive und auch negative Schrittweiten wählen kann.
- Mit Hilfe der Stelle $x_0$ und der Schrittweite $h$ werden die beiden Punkte $P(x_0|f(x_0))$ und $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf Graph $f$ festgelegt.
- Angezeigt wird die Sekante $s$ durch die beiden Punkte $P$ und $Q$. Die Steigung dieser Sekante entspricht der mittleren Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$.
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Beispiel
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und die Stelle $x_0 = 0.5$.
$f'(0.5)$ erhält man, indem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0 + h) = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ bestimmt - und das für immer kleinere Schrittweiten $h$, die sich der $0$ annähern.
Für $h = 0.1$ erhält man $m(x_0, x_0 + h) = 1.1$, für $h = 0.01$ ergibt sich $m(x_0, x_0 + h) = 1.01$. Es liegt die Vermutung nahe, dass man mit immer kleineren $h$-Werten schließlich $f'(0.5) = 1$ erhält.
Eine mathematische Beschreibung dieses Grenzprozesses
Die Ableitung lässt sich wie folgt mathematisch präzisieren.
Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Die lokale Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$ für immer kleinere Schrittweiten $h$ bestimmt. Wir setzen dabei voraus, dass sich bei dem Grenzprozess die mittleren Änderungsraten stabilisieren.
Zur Darstellung der lokalen Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ benutzt man die Schreibweise $f'(x_0)$. Die Zahl $f'(x_0)$ nennt man auch Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Gelesen wird $f'(x_0)$ so: "$f$ Strich von $x_0$" oder "Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$".
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$
Die Ableitung $f'(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess für die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$, bei dem die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht.
Für solche Grenzprozesse nutzt man in der Mathematik die Limes-Schreibweise:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$
Diese Schreibweise bedeutet:
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist der Grenzwert ("Limes"), den man erhält, wenn man für die mittlere Änderungsrate $\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.
Geometrische Deutung der Ableitung – Version 1
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$. Man erhält sie als Grenzwert von mittleren Änderungsraten, wenn die Schrittweite gegen $0$ geht.
Die mittleren Änderungsraten kann man geometrisch als Steigungen von Sekanten deuten. Im Applet sind diese Sekanten als grün gestrichelte Geraden dargestellt.
Zum Herunterladen: funktionenmikroskop1.ggb
Wenn man die Schrittweite $h$ immer weiter verkleinert und so gegen $0$ gehen lässt, dann stabilisieren sich die Sekantensteigungen und liefern einen Zahl, die wir als Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$ (bzw. dem zugehörigen Punkt $P(x_0|f(x_0))$) ansehen können. Diese Sichtweise ist sinnvoll, da der (im vorliegenden Beispiel gekrümmte) Graph bei einer sehr starken Vergrößerung lokal um $P$ nahezu gerade erscheint.
| Grenzprozess | inhaltliche Deutung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} \\ \downarrow & \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & \\ \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{Steigung der Sekante durch P und Q} \\ \downarrow & Q \rightarrow P & \\ \text{Steigung des Graphen im Punkt P} \end{array}$ |
Wir nutzen also denselben Grenzprozess, um die Ableitung einer Funktion an einer Stelle bzw. die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt zu bestimmen.
In der folgenden Definition wird das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts zusammengefasst.
Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $x_0$ bzw. im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ entspricht der Ableitung $f'(x_0)$. Man erhält sie als Grenzwert von Sekantensteigungen, wenn der Punkt $Q$, der zusammen mit Punkt $P$ die Sekante festlegt, sich immer mehr dem Punkt $P$ nähert. Wir setzen dabei voraus, dass sich bei dem Grenzprozess die Werte der Sekantensteigungen stabilisieren.
Beachte, dass in dieser Definition festgelegt wird, was man unter der Steigung eines (gegebenenfalls gekrümmten) Funktionsgraphen in einem Punkt versteht. Der zunächst nur für Geraden festgelegte Steigungsbegriff wird hierdurch verallgemeinert. Die Beobachtungen mit dem Funktionenmikroskop zeigen, dass die Definition in der Regel sinnvoll ist. Ausnahmen von der Regel werden wir im Kapitel Differenzierbarkeit betrachten.
Geometrische Deutung der Ableitung – Version 2
Wenn man im folgenden Applet oben die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt, dann fällt im Grenzfall Punkt $Q$ genau auf Punkt $P$. Die beiden Punkte legen dann keine Sekante mehr fest.
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Statt der Sekante erscheint im Applet im Grenzfall $h = 0$ eine (blau eingefärbte) Gerade $t$. Diese Gerade $t$ hat die Steigung $f'(x_0)$ – also dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P$. Sie berührt Graph $f$ im Punkt $P$ und wird daher als Tangente an Graph $f$ angesehen.
Tangente an einen Funktionsgraphen
Die Tangente an einen Funktionsgraphen durch den Punkt $P$ des Funktionsgraphen ist die Gerade, die dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph im Punkt $P$ hat.
Beachte, dass in dieser Definition festgelegt wird, was man unter der Tangente an einen Funktionsgraphen versteht. Der in der Sekundarstufe I zunächst nur für Kreise festgelegte Tangentenbegriff wird hierdurch verallgemeinert.
Man kann die Ableitung folglich auch so geometrisch deuten:
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt geometrisch die Steigung der Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(x_0|f(x_0))$.
Die Übersicht verdeutlicht auch diesen Zusammenhang.
| Grenzprozess | inhaltliche Deutung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} \\ \downarrow & \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & \\ \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{Steigung der Sekante durch P und Q} \\ \downarrow & Q \rightarrow P & \\ \text{Steigung der Tangente an Graph $f$} \\ \text{durch den Punkt P} \end{array}$ |
