Überprüfung - Ableitung an einer Stelle
Aufgabe 1
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = -0.5x^2 + 2$.
Zum Herunterladen: ableitung7.ggb
(a) Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht?
- $f'(0) = 2$
- $f'(2) = 0$
- $f'(-1) = 1$
- $f'(1) = 1$
(b) Schätze $f'(2)$ geometrisch ab.
(c) Schätze $f'(2)$ mit Hilfe einer mittleren Änderungsrate ab.
Zur Kontrolle:
(a)
- $f'(0) = 2$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(0|2)$ den Wert $0$ haben müsste.
- $f'(2) = 0$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(2|0)$ einen negativen Wert hat.
- $f'(-1) = 1$: plausibel, da die Steigung im Punkt $P(-1|\dots)$ in etwa denselben Wert hat wie die Gerade $y = x$.
- $f'(1) = 1$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(0.5|\dots)$ einen negativen Wert hat.
(b)
Wenn man eine Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(2|0)$ zeichnet, dann hat diese Tangente (in etwa) sie Steigung $m = -2$.
Dieser Wert entspricht dann der Steigung des Graphen im Punkt $P$ und liefert auch die Ableitung $f'(2)$.
(c)
Für $h = 0.01$ erhält man $m(2,2+0.01) = \displaystyle{\frac{f(2.01)-f(2)}{0.01}} = \displaystyle{\frac{-0.02005-0}{0.01}} = -2.005$. Also $f'(2) \approx -2$.
