Einstieg
Zur Orientierung
Im Erkundungskapitel hast du bereits mehrfach lineare Gleichungssysteme mit Hilfe eines LGS-Umformungstools gelöst. In diesem Kapitel werden wir das dabei benutzte Verfahren genauer untersuchen.
Das LGS-Löseverfahren beschreiben
Das im Erkundungskapitel eingeführte Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen wird nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß auch Gauß-Verfahren oder Gaußsches-Eliminationsverfahren genannt.
Gauß-Verfahren
Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. Das LGS in Stufenform wird dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts aufgelöst.
Folgende Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen:
- eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
- eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich $0$ multiplizieren
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich $0$ hinzuaddieren
Das folgende Beispiel verdeutlicht das Vorgehen beim Gauß-Verfahren.
Beispiel - Gauß-verfahren
Gegeben: LGS
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$
Gesucht: Lösung des LGS
Phase 1: Das LGS in Stufenform umwandeln
In der Übersicht werden die Umformungsschritte in der Gleichungform und in der abkürzenden Tabellenform dargestellt.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| vorgegebenes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [2] &\quad 3 & 6 & -3 & 0 \\ [3] &\quad 4 & -4 & -6 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftrightarrow [2]$ | $[1] \leftrightarrow [2]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 3 & 6 & -3 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 4 & -4 & -6 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/3$ | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/3$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 4 & -4 & -6 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + (-4) \cdot [1]$ | $[3] \leftarrow [3] + (-4) \cdot [1]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & (-12)x_2 & + & (-2)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & -12 & -2 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + [2]$ | $[3] \leftarrow [3] + [2]$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
Phase 2: Variablenwerte durch Rückwärtsauflösen bestimmen
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| Umformungen | rückwärts auflösen | |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & x_2 & = & -1 \\ [1] &\quad & x_1 & = & 4 \\ \end{array}$ |
Aufgabe 1
Beschreibe die benutzte Strategie zum Lösen des LGS. Beschreibe hierzu, was man in den beiden Phasen bezweckt.
Zur Orientierung
Ziel der folgenden Abschnitte ist es, das Gauß-Verfahren weiter zu verfeinert.
