Erarbeitung - Lösung des Ernährungsproblems
Zur Orientierung
Wir beschäftigen uns mit der Frage, ob man mit Orangen, Bananen und Avocados den Tagesbedarf an Kohlenhydraten, Fett und Eiweiß abdecken kann.
Die Problemsituation präzisieren
Gegeben ist die Vorgabe, dass eine Person an einem Tag nur Orangen, Bananen und Avocados isst und dabei genau den Ernergiebedarf von 2000 kcal deckt.
Gesucht ist die Menge der jeweiligen Früchte, die die Person essen muss, damit sie 264 g Kohlenhydrate, 66 g Fett und 72 g Eiweiß zu sich nimmt.
Um dieses Problem zu klären, braucht man Angaben über den Nähstoffgehalt der beteiligten Früchte. Die benötigten Daten findest du in der folgenden Tabelle.
| 1kg Orange | 1kg Bananen | 1kg Avocados | |
|---|---|---|---|
| Kohlenhydrate | 120g | 220g | 360g |
| Fett | 2g | 2g | 125g |
| Eiweiß | 10g | 11g | 14g |
Eine Lösung experimentell suchen
Oft ist es günstig, Lösungsansätze zunächst experimentell zu erproben.
Aufgabe 1
(a) Berechne mit den Werten aus der Ernährungstabelle die aufgenommene Menge an Kohlenhydraten, Fett und Eiweiß, wenn ein(e) Fruktarier(in) 1 kg Orangen, 0.5 kg Bananen und 0.2 kg Avocados an einen Tag isst. Überprüfe die Ergebnisse mit dem folgenden Applet.
(b) Kann man die empfohlenden Tagesbedarf von genau 264 g Kohlenhydraten, 66 g Fett und 72 g Eiweiß mit einer geeigneten Kombination aus Orangen, Bananen und Avocados aufnehmen? Teste mit dem Applet.
Zum Herunterladen: fruktarier1.ggb
Das Ernährungsproblem der Fruktarierin rechnerisch lösen
Das experimentelle Vorgehen lässt vermuten, dass es nicht möglich ist, den empfohlenen Tagesbedarf mit Orangen, Bananen und Avocados zu decken. Aber stimmt das auch? Hier hilft ein rechnerisches Vorgehen mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems.
Die Orangen-, Bananen- und Avocadomenge, die eine Fruktarierin für eine ausgewogene Ernährung essen muss, ist noch unbekannt. Wir führen Variablen für diese unbekannten Mengen ein.
- $x$: Orangenmenge in kg
- $y$: Bananenmenge in kg
- $z$: Avocadomenge in kg
Es ergibt sich die folgende Ernährungsbilanz:
| Orangen | Bananen | Avocados | ingesamt benötigt | |
|---|---|---|---|---|
| Kohlenhydrate | $120 \cdot x$ | $220 \cdot y$ | $360 \cdot z$ | $264$ |
| Fett | ||||
| Eiweiß |
Aufgabe 2
Ergänze die Fett- und Eiweißbilanz.
Aufgabe 3
Die Kohlenhydrate-, Fett- und Eiweißbilanz führen zu 3 Gleichungen, die man zu einem Gleichungssystem zusammenfasst, da alle Gleichungen mit denselben Werten für $x$, $y$ und $z$ erfüllt werden müssen.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 120x & + & 220y & + & 360z & = & 264 \\ [2] &\quad \\ [3] &\quad \end{array}$
Ergänze hier die fehlenden Gleichungen.
Aufgabe 4
Benutze ein Computeralgebrasystem (kurz: CAS), um die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen.
Gib zunächst die Gleichungen $G2$ und $G3$ analog ein.
Gib dann den Befehl $\text{Löse}(\{G1,G2,G3\},\{x,y,z\})$ in die nächste Zeile ein. Mit dem Button [$\approx$] kannst du Bruchzahlen in (gerundete) Dezimalzahlen umwandeln.
Deute die erzeugte Lösung. Welche Schlüsse kann man aus ihr ziehen?
