Übungen - Lösungsmengen eines LGS

Aufgabe 1

(a) Löse das folgende LGS geometrisch. Veranschauliche hierzu die Lösungen der beiden Gleichungen mit geeigneten Geraden im 2D-Koordinatensystem.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad x & + & 2y & = & -2 \end{array}$

Zur Kontrolle

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(b) Gib ein LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen an, das die Lösung $(x; y) = (0; 1)$ hat.

(c) Gib ein LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen an, das die unendlich vielen Lösungen $(x; y) = (t-1; t)$ (mit einer beliebigen reellen Zahl $t$) hat.

Aufgabe 2

Betrachte das folgende LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad x_1 & + & x_2 & & & = & 0 \\ [3] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & 1 \end{array}$

(a) Bestimme mindestens $5$ Lösungen der Gleichung $[1]$. Gib hierzu $x_2$ und $x_3$ vor und bestimme $x_1$ dann passend. Beschreibe die Gesamtheit aller unendlich vielen Lösungen der Gleichung $[1]$ mit Hilfe von zwei Parametern $r$ und $s$.

(b) Ergänze zu Lösungen von $[1]$ und $[2]$:

• $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; 0; \dots)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; 1; \dots)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; -1; \dots)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; 0.5; \dots)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; -0.5; \dots)$

Beschreibe Gesamtheit aller unendlich vielen Lösungen der Gleichungen $[1]$ und $[2]$ mit Hilfe eines Parameters.

(c) Bestimme die Lösungen(en) von $[1]$, $[2]$ und $[3]$ mit Hilfe des Applets.

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(d) Bearbeite die Teilaufgaben analog für das folgende LGS:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad x_1 & + & 2x_2 & & & = & 2 \\ [3] &\quad & & 4x_2 & - & x_3 & = & -2 \end{array}$

Aufgabe 3

Wie viele Lösungen haben die folgenden linearen Gleichungssysteme? Ermittle die jeweilige Anzahl mit dem Applet unten.

(a)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad x_1 & + & x_2 & & & = & 1 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & x_3 & = & 1 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad x_1 & + & x_2 & & & = & 1 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & x_3 & = & 1 \end{array}$

(c)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad x_1 & + & x_2 & & & = & 1 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & x_3 & = & 1 \end{array}$

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Aufgabe 4

Wie viele Lösungen haben die folgenden linearen Gleichungssysteme? Ermittle die jeweilige Anzahl mit dem Applet unten.

(a) A. behauptet, dass man direkt sieht, dass das folgende LGS keine Lösungen haben kann. Wie könnte A. argumentieren?

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad x_1 & + & x_2 & & & = & 1 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & x_3 & = & 1 \end{array}$

(b) B. behauptet, dass man direkt sieht, dass das folgende LGS unendlich viele Lösungen hat. Wie könnte B. argumentieren?

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & 2x_3 & = & 4 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & x_3 & = & 1 \end{array}$

(c) C. behauptet, dass man die Lösung des folgenden LGS leicht bestimmen kann. Wie könnte C. vorgehen?

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & x_2 & & & = & 3 \\ [2] &\quad x_1 & & & + & x_3 & = & 4 \\ [3] &\quad & & x_2 & + & x_3 & = & 5 \end{array}$