Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier verschiedene Situationen, die bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens entstehen können.
Situation A
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 2 & -1 & -3 & 1 \\ [3] &\quad 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
Aufgabe 1
Das ist eine Situation, die bereits mehrfach vorgekommen ist. Bestimme die Lösung des LGS durch Rückwärtsauflösen.
Situation B
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 2 \\ [2] &\quad 2 & -1 & -3 & -1 \\ [3] &\quad 1 & 1 & -3 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -5 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 11 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 2 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -5 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 11 \end{array}$ |
Aufgabe 2
In der Stufenform tritt die Gleichung $0 \cdot x_3 = 11$ auf. Erläutere, was man aus dieser Gleichung über die Lösungsmenge des LGS erschließen kann.
Situation C
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 2 & -1 & -3 & 1 \\ [3] &\quad 1 & 1 & -3 & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
Aufgabe 3
In der Stufenform tritt die Gleichung $0 \cdot x_3 = 0$ auf. Warum kann man für $x_3$ hier eine beliebige reelle Zahl $r$ einsetzen? Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen des LGS? Benutze den Parameter $r$, um die Lösungen des LGS zu beschreiben.
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
| Umformungen | rückwärts auflösen | |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad & x_3 & = & r \\ [2] &\quad & x_2 & = & \dots \\ [1] &\quad & x_1 & = & \dots \\ \end{array}$ |
Situation D
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & -1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 2 & -2 & -2 & 2 \\ [3] &\quad -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & & & 0 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
Aufgabe 4
In der Stufenform treten die Gleichungen $0 \cdot x_2 = 0$ und $0 \cdot x_3 = 0$ auf. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen des LGS? Benutze die Parameter $r$ und $s$, um die Lösungen des LGS zu beschreiben.
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & & & 0 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
| Umformungen | rückwärts auflösen | |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad & x_3 & = & r \\ [2] &\quad & x_2 & = & s \\ [1] &\quad & x_1 & = & \dots \\ \end{array}$ |
Situationen beim Gauß-Verfahren analysieren
Die Anzahl der Lösungen eines LGS kan man direkt anhand der erreichten Stufenform beim Gauß-Verfahren ablesen. Es ergeben sich typische Strukturmuster.
- Ein $*$ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl $0$ sein kann).
- Die $0$ für die (gesichert vorliegende) Zahl $0$.
- Das $u$ für eine (gesichert vorliegende) Zahl ungleich $0$.
| Strukturmuster des LGS | Anzahl der Lösungen |
|---|---|
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & u & * & * \\ 0 & 0 & u & * \end{array} \right]$ | |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & u & * & * \\ 0 & 0 & 0 & u \end{array} \right]$ | |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & u & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ | |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ |
Aufgabe 5
Ergänze in der Übersicht, wie viele Lösungen das LGS hat, wenn das jeweilige Strukturmuster erreicht wird. Begründe kurz. Erläutere das folgende Ergebnis.
Lösungsmengen beim Gauß-Verfahren
Man kann die Anzahl der Lösungen eines LGS mit dem Gauß-Verfahren ermitteln. Man muss hierzu nur das Strukturmuster des LGS in Stufenform analysieren.
