Überprüfung - Das Gauß-Verfahren

Aufgabe 1

Bestimme die Lösung des LGS in Stufenform.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & -3x_2 & + & x_3 & = & -3 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 6 \end{array}$

Zur Kontrolle

$(x_1; x_2; x_3) = (1; 2; 3)$

Aufgabe 2

Transformiere das LGS mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform. Du kannst dafür das LGS-Tool verwenden.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad 3x_1 & - & 3x_2 & + & 2x_3 & = & 3 \end{array}$

im LGS-Tool übernehmen

Zur Kontrolle: Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man vorgeht. Im LGS muss am Ende ein LGS in Stufenform vorliegen.

Aufgabe 3

Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen wurden die folgenden Stufenformen erreicht. Bestimme jeweils die Lösungsmenge.

(a)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad & & & & 2 & = & 3 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$

(c)

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & & & 0 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$

Zur Kontrolle

(a) Es gibt keine Lösungen.

(b) $(x_1; x_2; x_3) = (t/2; t+1; t)$ mit einer reeellen Zahl $t$

(c) $(x_1; x_2; x_3) = (-s/2+t+1/2; s; t)$ mit reellen Zahlen $s$ und $t$