Theoriebildung - Koeffizientenvektoren
Zur Orientierung
Wir werfen hier einen anderen Blick auf lineare Gleichungssysteme und ihre Lösungen. Wir verwenden hierzu das Vektorkonzept.
Ein LGS mit Vektoren beschreiben
Betrachte das folgende LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & + & 0.5x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & 2.5 \\ [3] &\quad -0.5x_1 & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$
Aufgabe 1
(a) Das LGS lässt sich mit Hilfe von Koeffizientenvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ und einem Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ darstellen. Ergänze die fehlenden Einträge und erläutere den Zusammenhang zwischen der Gleichungsdarstellung und der entsprechenden Vektordarstellung.
$ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -0.5 \end{pmatrix}}_{\vec{a}_1} \cdot x_1 + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{a}_2} \cdot x_2 + \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{a}_3} \cdot x_3 = \underbrace{\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}}_{\vec{b}} $
(b) Zeige, dass $(x_1; x_2; x_3) = (2; 2.5; 3)$ eine Lösung des oben vorgegebenen LGS ist.
(c) Stelle die Werte der Variablen im Applet unten ein. Erläutere anhand des Applets die folgende geometrische Deutung der Lösung des LGS:
Ein Zahlentupel $(x_1; x_2; x_3)$ ist eine Lösung des betrachteten LGS genau dann, wenn der Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ sich mit diesen Zahlen als Linearkombination aus den Koeffizientenvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ darstellen lässt:
$\vec{a}_1 \cdot x_1 + \vec{a}_2 \cdot x_2 + \vec{a}_3 \cdot x_3 = \vec{b}$
Anleitung für das Applet
- Das LGS kann man mit Hilfe der Koeffizientenvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ und des Rechte-Seite-Vektors $\vec{b}$ selbst eingeben. Das LGS wird dann – in der Vektorform – rechts oben angezeigt.
- Die Koeffizientenvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ werden zusätzlich in der 3D-Grafik mit violetten Pfeilen verdeutlicht.
- Werte für die Variablen $x_1$, $x_2$, $x_3$ kann man mit Hilfe der drei Schieberegler vorgeben. Mit diesen Werten wird die Linearkombination $\vec{a}_1 \cdot x_1 + \vec{a}_2 \cdot x_2 + \vec{a}_3 \cdot x_3$ gebildet und unten rechts angezeigt.
- Die Linearkombination $\vec{a}_1 \cdot x_1 + \vec{a}_2 \cdot x_2 + \vec{a}_3 \cdot x_3$ wird zusätzlich in der 3D-Grafik mit einer lila Box verdeutlicht. Der lila Punkt ist der Punkt, dessen Vektordarstellung der Linearkombination entspricht.
- Das LGS ist gelöst, wenn man Werte für $x_1$, $x_2$, $x_3$ findet, so dass die Linearkombination $\vec{a}_1 \cdot x_1 + \vec{a}_2 \cdot x_2 + \vec{a}_3 \cdot x_3$ mit dem Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ übereinstimmt. In der 3D-Grafik muss hierzu das Ende des (orange dargestellten) Rechte-Seite-Vektors zum lila Linearkombinationspunkt zeigen.
Zum Herunterladen: vektordarstellung1.ggb
Lösbarkeit eines LGS untersuchen
Mit der Visualisierung im Applets kann man die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen anschaulich untersuchen.
Aufgabe 2
(a) Variiere die rechte Seite des oben betrachteten LGS. Stelle den Rechte-Seite-Vektor im Applet passend ein.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & + & 0.5x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & 4 \\ [3] &\quad -0.5x_1 & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$
Suche mit Hilfe des Applets eine Lösung des LGS.
(b) Betrachte jetzt als Variation einen beliebigen Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$. Warum findet man für jeden Rechte-Seite-Vektor $\vec{b}$ eine Lösung? Hast du einer Erklärung hierfür?
Aufgabe 3
(a) Stelle jetzt das folgende LGS im Applet oben ein.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 0.5x_1 & + & x_2 & & & = & 2.5 \\ [3] &\quad 0.5x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 2 \end{array}$
Begründe anschaulich, dass dieses LGS keine Lösung hat.
(b) Variiere das LGS, indem du die rechte Seite wie folgt abänderst.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -x_1 & - & 2x_2 & + & x_3 & = & -2 \\ [2] &\quad 0.5x_1 & + & x_2 & & & = & 1.5 \\ [3] &\quad 0.5x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 3.5 \end{array}$
Zeige im Applet, dass das LGS jetzt u.a. die Lösungen $(x_1; x_2; x_3) = (1; 1; 1)$ und $(x_1; x_2; x_3) = (3; 0; 1)$ hat.
(c) Vergleiche mit der Situation in Aufgabe 2. Woran liegt es, dass das hier betrachtete LGS je nach Rechte-Seite-Vektor keine oder mehrere (sogar unendlich viele) Lösungen hat? Hast du einer Erklärung hierfür?
Lösbarkeit mit linearer (Un-) Abhängigkeit charakterisieren
Die Beispiele oben verdeutlichen, dass man die Lösbarkeit eines LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen anhand der Koeffizientenvektoren erkennen kann. Entscheidend ist dabei, welche Vektoren man aus den Koeffizientenvektoren mit Linearkombinationen erzeugen kann. Zur genaueren Charakterisierung benötigen wir das Konzept der linearen (Un-) Abhängigkeit von Vektoren (siehe Lineare (Un-) Abhängigkeit).
Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k\cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k\cdot \vec{u}$ gilt.
Drei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der Vektoren sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt bzw. wenn es reelle Zahlen $p$ und $q$ gibt, sodass $\vec{u} = p\cdot\vec{v} + q\cdot\vec{w}$ oder $\vec{v} = p\cdot\vec{u} + q\cdot\vec{w}$ oder $\vec{w} = p\cdot\vec{u} + q\cdot\vec{v}$ gilt.
Zwei bzw. drei Vektoren nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Folgende Konstellationen können bei LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen entstehen.
Aufgabe 4
Analysiere die eingestellten Koeffizientenvektoren in den 3 Situationen. Begründe jeweils die Aussagen zur linearen (Un-) Abhängigkeit der Koeffizientenvektoren.
Aufgabe 5
Mache dir den folgenden Satz anhand des Applets klar.
Lineare (Un-) Abhängigkeit der Koeffizientenvektoren und Lösbarkeit des LGS
Für ein LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen mit der Vektordarstellung $\vec{a}_1 \cdot x_1 + \vec{a}_2 \cdot x_2 + \vec{a}_3 \cdot x_3 = \vec{b}$ gilt:
Wenn die Koeffizientenvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ linear unabhängig sind, dann hat das LGS genau eine Lösung.
Wenn die Koeffizientenvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$, $\vec{a}_3$ linear abhängig sind, dann hat das LGS entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
