Zusammenfassung - Das Gauß-Verfahren
Die Grundidee
Beim Lösen von (komplizierten) linearen Gleichungssystemen ist es günstig, wenn man eine klare Stategie verfolgt.
Strategie zum Lösen eines LGS
Zum Lösen eines LGS in Rechteckform formt man es in ein äquivalentes LGS in Stufenform um. Die Lösung des LGS lässt sich dann stufenweise durch Auflösen nach den Variablen bestimmen.
| Strukturmuster des LGS | Beschreibung |
|---|---|
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} * & * & * & * \\ * & * & * & * \\ * & * & * & * \end{array} \right]$ | LGS in Rechteckform |
| $\quad\quad\quad\downarrow$ | Äquivalenzumformungen |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} * & * & * & * \\ 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \end{array} \right]$ | LGS in Stufenform |
| $\quad\quad\quad\downarrow$ | Auflösen nach den Variablen |
| $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; \dots)$ | Lösung(en) |
In der Übersicht werden folgende Symbole zur Strukturbeschreibung benutzt:
- Ein $*$ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl $0$ sein kann).
- Die $0$ für die (gesichert vorliegende) Zahl $0$.
Umformung eines linearen Gleichungssystems
Wenn man ein LGS umformt, dann darf sich die Lösungsmenge bei der Umformung nicht verändern. Solche Umformungen nennt man Äquivalenzumformungen.
Gauß-Verfahren
Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. Das LGS in Stufenform wird dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts aufgelöst.
Folgende Umformungen eines LGS sind Äquivalenzumformungen:
- eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
- eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich $0$ multiplizieren
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich $0$ hinzuaddieren
Das folgende Beispiel verdeutlicht das Vorgehen beim Gauß-Verfahren.
Beispiel - Gauß-verfahren
Gegeben: LGS
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$
Gesucht: Lösung des LGS
Phase 1: Das LGS in Stufenform umwandeln
In der Übersicht werden die Umformungsschritte in der Gleichungform und in einer abkürzenden Tabellenform dargestellt.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| vorgegebenes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [2] &\quad 3 & 6 & -3 & 0 \\ [3] &\quad 4 & -4 & -6 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftrightarrow [2]$ | $[1] \leftrightarrow [2]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 3 & 6 & -3 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 4 & -4 & -6 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/3$ | $[1] \leftarrow [1] \cdot 1/3$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 4 & -4 & -6 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + (-4) \cdot [1]$ | $[3] \leftarrow [3] + (-4) \cdot [1]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & (-12)x_2 & + & (-2)x_3 & = & 8 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & -12 & -2 & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformung | $[3] \leftarrow [3] + [2]$ | $[3] \leftarrow [3] + [2]$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
Phase 2: Variablenwerte durch Rückwärtsauflösen bestimmen
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 12 & 4 & -4 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| Umformungen | rückwärts auflösen | |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & x_2 & = & -1 \\ [1] &\quad & x_1 & = & 4 \\ \end{array}$ |
Lösungsmengen beim Gauß-Verfahren
Ein LGS kann genau eine Lösung, keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Wie zeigt sich das bei der Durchführung des Gaußverfahrens? Wir verdeutlichen das anhand typischer Beispiele.
Situation A
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 2x_3 & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 2 & -1 & -3 & 1 \\ [3] &\quad 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
Im vorliegenden Beispiel hat das LGS genau eine Lösung:
$(x_1; x_2; x_3) = (4; 1; 2)$
Situation B
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 2 \\ [2] &\quad 2 & -1 & -3 & -1 \\ [3] &\quad 1 & 1 & -3 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -5 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 11 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 2 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -5 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 11 \end{array}$ |
In der Stufenform tritt die Gleichung $0 \cdot x_3 = 11$ auf. Diese Gleichung ist nicht erfüllbar. Das LGS hat daher keine Lösungen.
Situation C
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & -1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 2 & -1 & -3 & 1 \\ [3] &\quad 1 & 1 & -3 & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]\cdot (-1)$ $[3] \leftarrow [3] + [2]\cdot (-2)$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & x_2 & - & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
In der Stufenform tritt die Gleichung $0 \cdot x_3 = 0$ auf. Diese Gleichung kann man mit jeder beliebigen Zahl für $x_3$ erfüllen. Wir verwenden den Parameter $r$ zur Beschreibung dieses Sachverhalts: $x_3 = r$ (wobei $r$ für eine beliebige reelle Zahl steht).
Durch Einsetzen von $x_3 = r$ in die Gleichung $x_2 - x_3 = -1$ und Auflösen nach $x_2$ erhält man $x_2 = r-1$.
Durch Einsetzen von $x_3 = r$ und $x_2 = r-1$ in die Gleichung $x_1 - x_2 - x_3 = 1$ und Auflösen nach $x_1$ erhält man $x_1 = 2r$.
Ingesamt erhält man somit die folgende Beschreibung der unendlich vielen Lösungen des LGS:
$(x_1; x_2; x_3) = (2r; r-1; r)$ (mit einer reellen Zahl $r$)
Situation D
Ein vorgegebenes LGS wird mit folgenden Äquivalenzumformungen transformiert.
| LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & -1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 2 & -2 & -2 & 2 \\ [3] &\quad -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$ |
$[2] \leftarrow [2] + [1]\cdot (-2)$ $[3] \leftarrow [3] + [1]$ |
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad & & & & 0 & = & 0 \\ [3] &\quad & & & & 0 & = & 0 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
Die Gleichungen $0 \cdot x_2 = 0$ und $0 \cdot x_3 = 0$ können mit beliebigen Zahlen für $x_2$ und $x_3$ erfüllt werden.
Die unendlich vielen Lösungen des LGS lassen sich mit Hilfe von zwei Parametern beschreiben:
$(x_1; x_2; x_3) = (s+r+1; s; r)$ (mit reellen Zahlen $r$ und $s$)
Die Beispiele verdeutlichen, dass man die Anzahl der Lösungen eines LGS direkt anhand der erreichten Stufenform beim Gauß-Verfahren ablesen kann.
Lösungsmengen beim Gauß-Verfahren
Man kann die Anzahl der Lösungen eines LGS mit dem Gauß-Verfahren ermitteln. Man muss hierzu nur das Strukturmuster des LGS in Stufenform analysieren.
| Strukturmuster des LGS | Anzahl der Lösungen |
|---|---|
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & u & * & * \\ 0 & 0 & u & * \end{array} \right]$ | genau eine Lösung |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & u & * & * \\ 0 & 0 & 0 & u \end{array} \right]$ | keine Lösungen |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & u & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ |
unendlich viele Lösungen; Beschreibung mit einem Parameter |
| $\left[ \begin{array}{ccc|c} u & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$ |
unendlich viele Lösungen; Beschreibung mit zwei Parametern |
Zur Beschreibung der Strukturmuster verwenden wir folgende Abkürzungen.
- Ein $*$ steht hier für eine beliebige Zahl (die auch die Zahl $0$ sein kann).
- Die $0$ für die (gesichert vorliegende) Zahl $0$.
- Das $u$ für eine (gesichert vorliegende) Zahl ungleich $0$.
