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Erarbeitung - Lösung des Rätsels

Zur Orientierung

Ziel ist es, das Rätsel von Lewis Caroll zu lösen. Ausgangspunkt sind die Informationen im Rätseltext.

Informationen im Text

Sack 1 und 2 wiegen zusammen 12 Pfund.
Sack 2 und 3 wiegen zusammen 13.5 Pfund.
Sack 3 und 4 wiegen zusammen 11.5 Pfund.
Sack 4 und 5 wiegen zusammen 8 Pfund.
Sack 1, 3 und 5 wiegen zusammen 16 Pfund.

Das Rätsel mit einem LGS lösen

Eine gängige Strategie in der Mathematik besteht darin, unbekannte Größen mit Hilfe von Variablen zu beschreiben. Im vorliegenden Kontext bietet sich folgender Ansatz an:

$x_1$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
$x_2$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
$x_3$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
$x_4$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.
$x_5$: Gewicht von Sack 1 in Pfund.

Aufgabe 1

Beschreibe die Informationen in der Geschichte mit Hilfe von Gleichungen.

Zur Kontrolle

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 + x_2 & = & 12 \\ [2] &\quad x_2 + x_3 & = & 13.5 \\ [3] &\quad x_3 + x_4 & = & 11.5 \\ [4] &\quad x_4 + x_5 & = & 8 \\ [5] &\quad x_1 + x_3 + x_5 & = & 11 \end{array}$

Aufgabe 2

Wenn es gelingt, die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, dann sind damit auch die Gewichte der Säcke bekannt und das Problem ist gelöst. Die Schwierigkeit besteht hier darin, dass in dem Gleichungssystem 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten vorkommen. Das sieht erst mal sehr kompliziert aus. Vielleicht gelingt es dir trotzdem, die Lösung zu bestimmen und so das Problem zu knacken.

Entwickle eine Strategie, mit der man durch Kombination von Gleichungen die Anzahl der Variablen reduzieren kann.

Strategie 1 - Hinweise

Man kann versuchen, die Variablen $x_1$, $x_2$, $x_4$ und $x_5$ durch $x_3$ zu ersetzen. Dazu löst man Gleichungen passend nach Variablen auf und setzt sie ggf. ineinander ein.

Noch ein Hinweis

Löse Gleichung $[1]$ nach $x_1$ und Gleichung $[2]$ nach $x_2$ auf. Setze das Ergebnis für $x_2$ in den Ausdruck für $x_1$ ein. Man erhält dann $x_1 = ... + x_3$. Bestimme analog eine Darstellung $x_5 = ... + x_3$. Setze die Ergebnisse in Gleichung $[5]$ ein und löse sie nach $x_3$ auf. Zur Kontrolle: $x_3 = 7$.

Strategie 2 - Hinweise

Wenn man alle 5 Gleichungen addiert, erhält man $2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + 2x_5 = 61$. Wenn man jetzt geeignet wieder Gleichungen subtrahiert, bleibt eine Gleichung übrig, in der nur die Variable $x_3$ vorkommt.

Noch ein Hinweis

Subtrahiere 2-mal Gleichung $[1]$ und 2-mal Gleichung $4$. Löse dann die entstehende Gleichung nach $x_3$ auf. Zur Kontrolle: $x_3 = 7$.

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