Vertiefung
Zur Orientierung
Das Gauß-Verfahren ist ein Verfahren, das automatisiert von einem Computerprogramm ausgeführt werden kann. Ziel ist es hier, die wesentlichen Züge der Automatisierung klar zu machen.
Rückwärtseinsetzen automatisieren
Das Rückwärtsauflösen eines LGS in Stufenform lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen. Das so erweiterte Umformungsverfahren wird dann Gauß-Jordan-Verfahren genannt. Wir verdeutlichen das Vorgehen anhand von Beispielen.
Von der Rechteckform zur Stufenform
Zunächst wird das LGS mit Äquivalenzumformungen in Stufenform transformiert.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Rechteckform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 9x_2 & + & (-2)x_3 & = & -1 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & 4x_2 & + & (-2)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad -4x_1 & + & (-5)x_2 & + & 7x_3 & = & 3 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 3 & 9 & -2 & -1 \\ [2] &\quad 2 & 4 & -2 & 0 \\ [3] &\quad -4 & -5 & 7 & 3 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen | $\dots$ | $\dots$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
Auflösen einer Stufenform
Das LGS in Stufenform kann man jetzt schrittweise nach den Variablen auflösen.
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ |
| $[3]$ nach $x_3$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_3 & = & 2 \end{array}$ |
| $x_3$ in $[2]$ einsetzen und $[2]$ nach $x_2$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_2 & = & -1 \end{array}$ |
| $x_2$ und $x_3$ in $[1]$ einsetzen und $[1]$ nach $x_1$ auflösen | $\begin{array}{lrcrcrcr} x_1 & = & 4 \end{array}$ |
| Lösung des LGS | $(x_1; x_2; x_3) = (4; -1; 2)$ |
Rückwärtsauflösen mit Äquivalenzumformungen
Das Rückwärtsauflösen man man auch mit Hilfe von Äquivalenzumformungen durchführen.
| Gleichungen | Tabelle | |
|---|---|---|
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 3x_2 & + & x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 2 & -1 & 0 \\ [2] &\quad 0 & 3 & 1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_3$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ | $[3] \leftarrow [3] \cdot \frac{1}{2}$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[2]$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-1)$ | $[2] \leftarrow [2] + [3] \cdot (-1)$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| Auflösen nach $x_2$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot \frac{1}{3}$ | $[2] \leftarrow [2] \cdot \frac{1}{3}$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_3$ in $[1]$ | $[1] \leftarrow [1] + [3]$ | $[1] \leftarrow [1] + [3]$ |
| transformiertes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| Einsetzen von $x_2$ in $[1]$ | $[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot (-2)$ | $[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot (-2)$ |
| LGS in Diagonalform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & & & & & = & 4 \\ [2] &\quad & & x_2 & & & = & -1 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & 0 & 0 & 4 \\ [2] &\quad 0 & 1 & 0 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
Aufgabe 1
Ergänze jeweils das LGS in Gleichungs- oder Tabellenform. Gib die Lösung an.
$(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; \dots)$
Aufgabe 2
Gehe analog vor. Bestimme jeweils die Lösungsmenge.
(a)
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}$ |
| $\dots$ | $\dots$ |
$(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; \dots)$
(b)
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
| Parameter einführen | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 1 & -1 & -1 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 1 & r \end{array}$ |
| $[2] \leftarrow [2] + [3]\cdot 1$ | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| $\dots$ | $\dots$ |
$(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; \dots)$
(c)
| LGS ist Stufenform | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad 1 & -1 & -1 & 1 \\ [2] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \\ [3] &\quad 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$ |
| Parameter einführen | $\begin{array}{lrrr|r} [1] &\quad \dots \\ [2] &\quad \dots \\ [3] &\quad \dots \end{array}$ |
| $\dots$ | $\dots$ |
$(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; \dots)$
Aufgabe 2
(a) Erläutere: Das Gauß-Verfahren kann rein schematisch von einer Person durchgeführt werden, die überhaupt nicht versteht, was sie da macht. Man muss der Person nur eine genaue Handlungsanweisung geben.
(b) Erläutere:
Automatisierung des Gauß-Verfahrens
Man kann das Gauß-Verfahren automatisieren. Man kann die Schritte zur Bestimmung der Lösungsungen mit einem Algorithmus bzw. einem Computerprogramm beschreiben.
(c) Versuche, eine grobe Handlungsanweisung für das Gauß-Verfahren zu schreiben. Wenn du gut Programmieren kannst, dann erstelle ein Programm zur Durchführung des Gauß-Verfahrens.
