Vertiefung - Algebraische Beschreibung von Lösungsmengen
Zur Orientierung
Wir betrachten weiterhin lineare Gleichungssystemen mit $3$ Variablen. Hier geht es um folgende Leitfrage: Wie beschreibt man die Lösungen – insbesondere, wenn es unendlich viele Lösungen gibt.
Lösungsmengen beschreiben
Aufgabe 1
Im Applet ist die Gleichung $[1]: x_1 + x_2 + x_3 = 2$ vorgegeben.
Zum Herunterladen: lgs13_mit_visualisierung_1.ggb
(a) Mache dir nochmal klar, wie du im letzten Abschnitt Lösungen der Gleichung $[1]$ bestimmt hast: Ergänze hierzu $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; 1; 1)$ sowie $(x_1; 1; -1) = (\dots; \dots; 2)$ zu einer Lösung der Gleichung $[1]$.
(b) Erläutere das folgende verallgemeinerte Vorgehen: Man erhält alle Lösungen der Gleichung $[1]: x_1 + x_2 + x_3 = 2$, indem man für $x_2$ eine Zahl $r \in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = 2-r-s$ berechnet. Kurz:
$(x_1; x_2; x_3) = (2-r-s; r; s)$ mit $r,s \in \mathbb{R}$
Diese Schreibweise verdeutlicht, dass es unendlich viele Lösungen gibt und wie man die Lösungen erhält. Etwas formaler lässt sich die Lösungsmenge der Gleichung $[1]$ dann in der folgenden Mengenschreibweise beschreiben.
$\mathbb{L} = \{(x_1; x_2; x_3) | (x_1; x_2; x_3) = (2-r-s; r; s)$ mit $r,s \in \mathbb{R} \}$
Wir verzichten in der Regel auf diese aufwendigere Schreibweise und verwenden die oben gezeigte Kurzschreibweise.
(c) Alternativ könnte man auch so vorgehen: Man erhält alle Lösungen der Gleichung $[1]: x_1 + x_2 + x_3 = 2$, indem man für $x_1$ eine Zahl $a \in \mathbb{R}$ und für $x_2$ eine Zahl $a \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_3$ mit $x_3 = \dots$ berechnet. Kurz:
$(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; \dots)$ mit $a,b \in \mathbb{R}$
Aufgabe 2
Betrachte die Situation im Applet. Hier sind $2$ Gleichungen mit $3$ Variablen vorgegeben.
Zum Herunterladen: lgs23_mit_visualisierung_1.ggb
(a) Mache dir nochmal klar, wie man hier gemeinsame Lösungen des Gleichungssystems bestimmen kann. Ergänze hierzu $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; 1)$ sowie $(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; 2)$ zu einer gemeinsamen Lösungen der Gleichungen $[1]$ und $[2]$.
(b) Verallgemeinere das Vorgehen. Man erhält alle Lösungen der Gleichungen $[1]: x_1 + x_2 + x_3 = 2$ und $[2]: x_1 - x_3 = 2$, indem man für $x_3$ eine Zahl $t \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = \dots$ und schließlich $x_2$ mit $x_2 = \dots$ berechnet. Kurz:
$(x_1; x_2; x_3) = (\dots; \dots; t)$ mit $t \in \mathbb{R}$
