Lösungen zu Übungen – Lokale Änderungsrate
Aufgabe 1: Autofahrt
Das Diagramm im Applet verdeutlicht einen Ausschnitt aus einer Fahrt von R. mit dem Auto in einer Innenstadt. Auf der $x$-Achse ist die Zeit in s abgetragen, auf der $y$-Achse der zurückgelegte Weg in m.
(a) Beschreibe zunächst die Fahrt ganz grob in Worten.
- R. fährt die ersten 4 Sekunden mit nahezu konstanter Geschwindigkeit.
- Dann bremst R. stark ab.
- Anschließend fährt R. mit nahezu konstanter Geschwindigkeit durch die 30er-Zone.
- Nach dem Verlassen der 30er-Zone fährt R. wieder etwas schneller.
(b) Auf der $y$-Achse sind die 50er- und 30er-Zonen gekennzeichnet. Schätze zunächst grob ab, ob R. die Tempolimits in etwa berücksichtigt. Beachte: $3.6$ km/h entspricht $1$ m/s.
$m(0,4) = \dfrac{f(4)-f(0)}{4-0} \approx \dfrac{48.65-0}{4} = 12.16$ [in m/s] bzw. $43.79$ [in km/h]
$m(7.5,11.5) = \dfrac{f(11.5)-f(7.5)}{11.5-7.5} \approx \dfrac{97.95-62.11}{4} = 8.96$ [in m/s] bzw. $32.26$ [in km/h]
$m(12,15.45) = \dfrac{f(15.45)-f(12)}{15.45-12} \approx \dfrac{149.66-101.12}{3.45} = 14.07$ [in m/s] bzw. $50.65$ [in km/h]
(c) Mit dem Punkt $B$ ist der Ort einer Blitzer-Radarfalle gekennzeichnet. Muss R. hier ein Bußgeld befürchten? Ermittle mit den Punkten $P$ und $Q$ möglichste genau die Momentangeschwindigkeit von R. zum Zeitpunkt $x_0 = 12.6$ (das ist der Zeitpunkt, an dem R. an der Radarfalle vorbeifährt).
$m(12.6,12.7) = \dfrac{112.21-110.5}{0.1} \approx 17.17$ [in m/s] bzw. $61.8$ [in km/h]
Aufgabe 2: Bevölkerungsentwicklung
Wir betrachten hier die Entwicklung der Erdbevölkerungszahl. Diese Entwicklung lässt sich näherungsweise mit der Funktion $f$ mit $f(x) = 6 \cdot 1.0132^x$ beschreiben. $x$ gibt hier die Anzahl der Jahre ab $2000$ an, $f(x)$ gibt die Anzahl der zum Zeitpunkt $x$ auf der Erde lebenden Menschen in Milliarden an.
(a) Schätze die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn des Jahres 2020, 2021 und des aktuellen Jahres ab. Nutze hierzu jeweils ein kleines Zeitintervall. Kontrolliere deine Rechnungen mit dem Applet.
Jahr 2020: $m(20,20.1) = \dfrac{f(20.1)-f(20)}{0.1} \approx 0.1023$
Jahr 2021: $m(21,21.1) = \dfrac{f(21.1)-f(21)}{0.1} \approx 0.1037$
Jahr 2025: $m(25,25.1) = \dfrac{f(25.1)-f(25)}{0.1} \approx 0.1093$
(b) Für das Jahr 2020 (also $x_0 = 20$) erhält man eine momentane Wachstumsgeschwindigkeit von etwa $0.1023$ (in Mrd pro Jahr). Zu Beginn des Jahres 2020 verhält sich demnach das Wachstum momentan so wie ein konstantes Wachstum mit 0.1023 Mrd pro Jahr. Bedeutet das, dass die Weltbevölkerung im gesamten Jahr 2020 um 0.1023 Mrd Menschen zunimmt? Kontrolliere das mit einer Rechnung.
Bevölkerungszuwachs im gesamten Jahr 2020: $f(21) - f(20) = 0.10295$ (in Mrd). Das sind mehr als $0.1023$ (in Mrd).
(c) Die Wachstumsgeschwindigkeit von 0.1023 (in Mrd pro Jahr) lässt sich auf das Wachstum in $1s$ „herunterrechnen“. Da $1a = 365\cdot24\cdot60\cdot60s = 31536000s$, erhält man für den Beginn des Jahres 2020 ein Wachstum von $0.1023/31536000 \approx 0.00000000324$ (in Mrd). D.h., in der 1. Sekunde des Jahres 2020 ist die Bevölkerungszahl um etwa 3 Menschen gestiegen.
Schätze analog das Wachstum in der 1. Sekunde des aktuellen Jahres ab.
Zu Beginn des Jahres 2025 beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit $m(25,25.1) \approx 0.1093$ (in Mrd pro Jahr). In der 1. Sekunde des Jahres 2025 ist die Bevölkerungszahl um $0.1093/31536000 \approx 0.00000000347$ (in Mrd) gestiegen. Das sind ca. 3.5 in der 1. Sekunde.
Aufgabe 3: 100m-Lauf
Bei der Leichtathletik-Europameisterschaft 2022 in München gab es ein sehr spannendes Final beim 100m-Lauf der Frauen.
Gina Lückenkemper und Mujinga Kambundji liefen zeitgleich durchs Ziel. Erst das Zielfoto ergab, dass Gina Lückenkemper im Ziel eine Winzigkeit vor Mujinga Kambundji lag. Dieser spanende Lauf soll hier unter mathematischen Gesichtspunkten betrachtet werden. Es wird insbesondere um die Geschwindigkeiten gehen, mit denen die beiden Läuferinnen den 100m-Lauf bestritten haben.
(a) Die Bewegung der beiden Läuferinnen G(ina) und M(ujinga) kann man (näherungsweise) mit Hilfe von zwei Zeit-Weg-Funktionen beschreiben. Sie sind im Applet unten dargestellt.
Kläre folgende Fragen:
- Woran erkennt man anhand der Graphen von $f$ (für den Lauf von M) und $g$ (für den Lauf von G), dass M fast die gesamte Strecke in Führung liegt? Graph $f$ liegt oberhalb von Graph $g$.
- Woran erkennt man anhand der Graphen von $f$ und $g$, dass M und G gleichzeitig im Ziel ankommen? Graph $f$ und Graph $g$ schneiden sich bei $t \approx 11$.
- Wie groß ist der Abstand zwischen M und G ungefähr in der Mitte des Rennens? Du kannst den Zeitpunkt manuell einstellen und die Koordinaten vom M und G einblenden. Nach $t = 5$ Sekunden erhält man: $f(5) - g(5) = 38.76 - 37.6 = 1.16$. M hat also einen Vorsprung von ca. 1m vor G.
(b) Im Video zum 100m-Lauf kann man recht gut erkennen, dass Gina Lückenkemper eine größere Endgeschwindigkeit hatte als ihre Gegnerin Mujinga Kambundji. Verwende das untere Applet, um die Endgeschwindigkeiten von M und G abzuschätzen.
Wenn man Q nahe an P heranrückt, erhält man in etwa diese Werte für die Endgeschwindigkeiten:
G: $v \approx 10.03$ (in m/s)
M: $v \approx 9.75$ (in m/s)
(c) Gehe jetzt auf die Suche nach unterschiedlichen Momentangeschwindigkeiten (in m/s bzw. km/h) von M und G. Gehe wie in Aufgabe (b) vor und schätze die momentane Geschwindigkeit zu geeigneten Zeitpunkten ab (z.B. nach 4s und 6s).
Nach 4 Sekunden ist M deutlich schneller als G:
G: $v \approx 10.06$ (in m/s)
M: $v \approx 10.12$ (in m/s)
Nach 6 Sekunden ist G bereits schneller als M:
G: $v \approx 10.76$ (in m/s)
M: $v \approx 10.57$ (in m/s)
(d) Interessant ist auch die Frage, wann die Läuferinnen ihre Maximalgeschwindigkeit erreichen. Bestimme in etwa diese Zeitpunkte.
M erreicht eine Maximalgeschwindigkeit von $v \approx 10.57$ nach ca. $6.5$ Sekunden.
G erreicht eine Maximalgeschwindigkeit von $v \approx 10.77$ nach ebenfalls ca. $6.5$ Sekunden.
Aufgabe 4: Prognose
Der aktuelle Wasserstand eines Flusses wird mit einer Funktion $f$ beschrieben. $f(x)$ beschreibt dabei die Pegelhöhe zum Zeitpunkt $x$.
Bei drohendem Hochwasser kennt man folgende Werte:
- $f(0)$: die momentane Pegelhöhe
Beispiel: $f(0) = 8.7$ [in Meter] - $f'(0)$: die momentane Änderungsrate der Pegelhöhe
Beispiel: $f'(0) = 0.2$ [in Meter pro Tag]
(a) Begründe: Mit diesen Daten kann man keine langfristige Prognose (z.B. über mehrere Tage) erstellen.
In einem längeren Zeitraum kann viel passieren, z.B. kann es ein starkes Gewitter mit viel Niederschlag geben. Die momentane Änderungsrate kann sich dann sehr stark ändern, so dass keine langfristige Prognose möglich ist.
(b) Begründe: Eine kurzfristige Prognose (z.B. für die nächste Stunde) ist dagegen möglich. Erstelle die Prognose für die nächste Stunde.
$f'(0) = 0.2$ [in Meter pro Tag] bedeutet, dass sich die Pegehöhe zum betrachteten Zeitpunkt $0$ so verhält wie ein Wachstum von $20$ cm pro Tag bzw. $20/24 \approx 0.83$ cm pro Stunde. Diese Abschätzung setzt voraus, dass sich die momentane Änderungsrate in der betrachteten Stunde nicht stark verändert.
