Lösungen zu Übungen - Ableitung und Steigung in einem Punkt
Aufgabe 1: Ableitungen näherungsweise bestimmen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$.
(a) Bestimme die Ableitung $f'(x_0)$ für die Stelle $x_0 = 0$ mit dem Annäherungsverfahren. Gib für $h$ einen geeigneten Wert ein und blende die Koordinaten der Punkte P und Q ein. Beachte, dass die Koordinaten evtl. gerundete Werte sind. Berechne mit diesen Koordinaten einen Näherungswert für $f'(x_0)$. Stelle einer Vermutung über den genauen Wert von $f'(x_0)$ auf.
Für z.B. $h = 0.1$ erhält man $m(x_0,x_0+h) = \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \approx \dfrac{-0.09967-0}{0.1} = -0.9967$.
Vermutung: Für $x_0 = 0$ erhält man $f'(0) = -1$.
(b) Bestimme analog die Ableitung $f'(1)$ und $f'(2)$ (bzw. $f'(x_0)$ für die Stellen $x_0 = 1$ und $x_0 = 2$).
Vermutung: $f'(1) = 0$ und $f'(2) = 3$.
(c) Stelle zuerst Vermutungen über die Werte von $f'(-1)$ und $f'(-2)$ auf. Überprüfe sie mit dem Annäherungsverfahren.
Wegen der Punktsymmetrie von Graph $f$ liegt folgende Vermutung nahe: $f'(-1) = 0$ und $f'(-2) = 3$.
Aufgabe 2: Ableitungen näherungsweise bestimmen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 0.5x^2 - x$. Bestimme die Ableitung $f'(x_0)$ für die Stellen $x_0 = 1$, $x_0 = 2$ und $x_0 = -1$ mit dem Annäherungsverfahren. Kontrolliere die Ergebnisse im folgenden Applet.
Für $x_0 = 1$ erhält man $f'(x_0) \approx 0$.
Für $x_0 = 2$ erhält man $f'(x_0) \approx 1$.
Für $x_0 = -1$ erhält man $f'(x_0) \approx -2$.
Aufgabe 5: Steigungen des Graphen abschätzen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 2x^2$.
Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht? Begründe mit Hilfe des Funktionsgraphen.
- $f'(0) = 0$ (plausibel: Die Steigung an der Stelle $x_0 = 0$ ist etwa $0$.)
- $f'(0.5) = 1$ (nicht plausibel: Die Steigung an der Stelle $x_0 = 0.5$ ist negativ.)
- $f'(1) = -1$ (plausibel: Die Steigung an der Stelle $x_0 = 1$ ist etwa $-1$.)
- $f'(-1) = -1$ (nicht plausibel: Die Steigung an der Stelle $x_0 = -1$ ist positiv.)
- $f'(1.5) = 8$ (plausibel: Die Steigung an der Stelle $x_0 = 1.5$ ist etwa $8$.)
- $f'(-0.5) = 1$ (plausibel: Die Steigung an der Stelle $x_0 = -0.5$ ist etwa $1$.)
Aufgabe 4: Steigungen des Graphen abschätzen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$.
Wahr oder falsch? Begründe mit Hilfe des Funktionsgraphen.
- $f'(1) > 0$ (falsch)
- $f'(-0.5) > 1$ (wahr)
- $f'(-2) \text{ < } f'(-1)$ (wahr)
- $f'(2) \text{ < } f'(1)$ (falsch)
- $f'(-1) = f'(1)$ (falsch)
Aufgabe 5: Ableitung bei linearen Funktionen
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x+1$.
(a) In der Sekundarstufe I hast du gelernt: Graph $f$ ist eine Gerade mit der Steigung $m = 2$. Erkläre, wie man diese Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmt.
Das Steigungsdreieck im Applet zeigt: Zur Schrittweite $1$ gehört die Änderung $m = 2$.
Diese Änderung zur Schrittweite $1$ beschreibt die Steigung der Geraden (d.h. wie steil
die Gerade ist).
(b) Verdeutliche im Applet: Für jede Stelle $x_0$ erhält man $f'(x_0) = 2$. Das bedeutet: In jedem Punkt von Graph $f$ erhält man mit der Ableitung die Steigung $2$.
Für ein beliebiges $x_0$ und ein beliebiges $h$ erhält man: $m(x_0,x_0+h) = \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \dfrac{(2(x_0+h)+1)-(2x_0+1)}{h} = \dfrac{2h}{h} = 2$. Also: $f'(x_0) = 2$ für jedes beliebige $x_0$.
(c) Erläutere die folgende Aussage: Der mit Hilfe der Ableitung verallgemeinerte Steigungsbegriff stimmt für lineare Funktionen mit dem Steigungsbegriff aus der Sekundarstufe I überein.
Das ergibt sich aus (a) und (b). Man erhält dieselben Steigungen. Das ist auch klar, da mittlere Änderungsraten geometrisch als Sekantensteigungen gedeutet werden können und da bei linearen Funktionen die Sekanten mit dem Graph selbst übereinstimmen.
