o-mathe | Übungen - Tangenten an Funktionsgraphen

Lösungen zu Übungen - Tangenten an Funktionsgraphen

Aufgabe 1: Ableitungen und Tangentensteigungen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 1$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.

(a) Gesucht ist die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(1|0)$. Positioniere die Punkte $A$ und $B$ so, dass die Gerade $t$ den Funktionsgraph $f$ im Punkt $P$ berührt – dass also $t$ eine Tangente an Graph $f$ durch $P$ darstellt. Kontrolliere, indem du den Graph um $P$ stark vergrößerst. Beachte, dass das Applet so eingestellt ist, dass die beiden Punkte $A$ und $B$ nur ganzzahlige Koordinaten haben können. Berechne mit Hilfe der Koordinaten die Steigung der Tangente $t$. Vergleiche sie mit der Ableitung $f'(x_0)$ mit dem passend gewählten $x_0$. Dokumentiere die Ergebnisse – z.B. so:

geg.: $f(x) = x^2-1$ und $P(1|0)$

Meine Wahl der Punkte: $A(1|0)$ und $B(2|2)$

Steigung der Tangente $m_t = \dfrac{2-0}{2-1} = 2$

Zum Vergleich: $f'(0) = 2$.

(b) Bestimme analog Tangenten an Graph $f$ durch die Punkte $P(2|3)$, $P(0|-1)$ und $P(-1|0)$ Dokumentiere jeweils die Ergebnisse.

geg.: $f(x) = x^2-1$ und $P(2|3)$
Mit $A(2|3)$ und $B(3|7)$ erhält man $m_t = 4$. Zum Vergleich: $f'(2) = 4$.

geg.: $f(x) = x^2-1$ und $P(0|-1)$
Mit $A(0|-1)$ und $B(3|-1)$ erhält man $m_t = 0$. Zum Vergleich: $f'(0) = 0$.

geg.: $f(x) = x^2-1$ und $P(-1|0)$
Mit $A(-1|0)$ und $B(-3|4)$ erhält man $m_t = -2$. Zum Vergleich: $f'(-1) = -2$.

Aufgabe 2: Tangenten mit Hilfe von Ableitungen bestimmen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x^2$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.

(a) Im Applet wird jeweils mit Hilfe der Ableitung die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$ angezeigt. So wird für $P(3|0)$ die Steigung $m = f'(3) = 9$ angezeigt. Nutze diese Information, um die Punkte $A$ und $B$ so zu platzieren, dass die Gerade $t$ durch A und B die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$ darstellt. Du kannst bei Bedarf den Graph verschieben. Dokumentiere die Ergebnisse – z.B. so:

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(3|0)$

Bed.: $m_t = f'(3) = 9$

Meine Wahl der Punkte: $A(3|0)$ und $B(4|9)$

(b) Gehe analog vor für $P(2|-4)$, $P(1|-2)$ und $P(0|0)$.

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(2|-4)$
Mit $m_t = f'(2) = 0$ kann man diese Punkte wählen: $A(2|-4)$ und $B(4|-4)$

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(1|-2)$
Mit $m_t = f'(1) = -3$ kann man diese Punkte wählen: $A(1|-2)$ und $B(0|1)$

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(0|0)$
Mit $m_t = f'(0) = 0$ kann man diese Punkte wählen: $A(0|0)$ und $B(3|0)$

(c) Stimmen die folgenden Aussagen? Gleiche sie mit den Ergebnissen aus (a) und (b) ab.

Eine Tangente an einen Funktiosgraph hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Funktionsgraph.
(falsch: siehe Tangente zu $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(2|-4)$)
Die Tangente an Graph $f$ durch einen Punkt $P$ darf den Graph im Punkt $P$ nicht schneiden.
(falsch: siehe Tangente zu $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(1|-2)$)

Aufgabe 3: Ableitungen mit Hilfe von Tangenten bestimmen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x^2$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(3|0)$

Bed.: $m_t = f'(3) = 9$

Meine Wahl der Punkte: $A(3|0)$ und $B(4|9)$

(b) Gehe analog vor für $P(2|-4)$, $P(1|-2)$ und $P(0|0)$.

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(2|-4)$
Mit $m_t = f'(2) = 0$ kann man diese Punkte wählen: $A(2|-4)$ und $B(4|-4)$

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(1|-2)$
Mit $m_t = f'(1) = -3$ kann man diese Punkte wählen: $A(1|-2)$ und $B(0|1)$

geg.: $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(0|0)$
Mit $m_t = f'(0) = 0$ kann man diese Punkte wählen: $A(0|0)$ und $B(3|0)$

(c) Stimmen die folgenden Aussagen? Gleiche sie mit den Ergebnissen aus (a) und (b) ab.

Eine Tangente an einen Funktiosgraph hat nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Funktionsgraph.
(falsch: siehe Tangente zu $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(2|-4)$)
Die Tangente an Graph $f$ durch einen Punkt $P$ darf den Graph im Punkt $P$ nicht schneiden.
(falsch: siehe Tangente zu $f(x) = x^3-3x^2$ und $P(1|-2)$)

Aufgabe 3: Punkte mit vorgegebenen Ableitungen bestimmen

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -\frac{1}{12}x^3 + x + 2$. Bearbeite die Aufgabe unterhalb des Applets.

Gesucht ist ein Punkt $P$ auf Graph $f$ mit $f'(x_0) = 0.75$.

Im Applet kann man den Punkt $P$ nur so einstellen, dass seine $x$-Koordinate ganzzahlig ist. Überlege dir zunächst, welche ganzzahligen $x$-Koordinaten für $P$ überhaupt nur in Frage kommen. Stelle $P$ passend ein und Konstruiere anschließend eine Tangente an Graph $f$ durch $P$. Kontrolliere, ob die Tangente die richtige Steigung hat.

Für $P$ kommen nur die Punkte mit positiven Steigungen in Frage. Das sind hier $P(-1|\dots)$, $P(0|\dots)$ und $P(1|\dots)$.

Für $P(-1|\dots)$ und $P(1|\dots)$ erhält man Tangenten mit $m_t = \frac{3}{4} = 0.75$.

Für $P(0|\dots)$ erhält man eine Tangente mit $m_t = 1$.

Die gesuchten Punkte sind demnach $P(-1|f(-1))$ und $P(1|f(1))$.

Aufgabe 4: Verallgemeinerung des Tangentenkonzepts

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$. Der Graph dieser Funktion beschreibt einen Halbkreis. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.

(a) Blende im Applet zunächst die [Tangente] ein. Diese ist hier geometrisch mit dem in der Sekundarstufe I entwickelten Verfahren konstruiert. Beschreibe dieses geometrische Verfahren. Die Hilfsline hilft dir dabei.

Man zeichnet eine Hilfsgerade vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt $P$ auf der Kreislinie. Die Tangente durch $P$ erhält man, indem man eine Gerade konstruiert, die durch $P$ verläuft und senkrecht zur Hilfsgerade ist.

(b) Blende jetzt die [Sekante] ein. Wenn du $h$ sehr klein wählst, dann stimmt die Sekantensteigung recht gut mit der Ableitung von $f$ im Punkt $P$ überein. Die Sekante selbst entspricht bei sehr kleinem $h$ in etwa der Tangente an Graph $f$ im Punkt $P$. Man sagt, dass die Tangente mit diesem Verfahren analytisch konstruiert wird. Vergleiche die Ergebnisse der beiden Verfahren.

Das geometrische und das analytische Verfahren liefern bei der gezeigten Halbkreisfunktion dieselben Tangenten. Das analytische Verfahren kann somit als Verallgemeinerung des geometrischen Verfahrens angesehen werden. Es funktioniert nicht nur bei Halbkreisen, sondern bei (nahezu) allen gekrümmten Funktionsgraphen. Die Ausnahmen werden wir in einem weiteren Kapitel thematisieren.