Lösungen zu Übungen - Herleitung von Ableitungen
Aufgabe 1: Eine Formel für Ableitungen herleiten
Wir betrachten die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2+1$. F. behauptet, dass man für die Ableitung die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ erhält.
(a) Kontrolliere die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ zunächst anhand von Beispielen im Applet unter der Aufgabe. Blende hierzu $f'(x_0)$ ein und betrachte verschiedene $x_0$-Werte.
Im Applet kann man folgende Ableitungswerte ablesen:
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $f'(x_0)$ | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
Diese Werte passen alle zur Formel $f'(x_0) = 2x_0$.
(b) Im Strukturierungskapitel wurde gezeigt, dass für die Quadratfunktion $h(x) = x^2$ die Formel $h'(x_0) = 2x_0$ gilt. Blende $h(x)$ im Applet ein und Aktiviere den [Start]-Button. Begründet, dass die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ plausibel ist.
Man erhält den Graph der Funktion $f(x) = x^2 + 1$, indem man den Graph der Funktion $h(x) = x^2$ um $1$ Einheit nach oben verschiebt. Bei einer Verschiebung eines Graphen (z.B. nach oben) ändert sich die Steigung des Graphen in einem betrachteten Punkt nicht. Wenn Graph $h$ an der Stelle $x_0$ die Steigung $2x_0$ hat, dann ist es plausibel, dass Graph $f$ an der Stelle $x_0$ ebenfalls die Steigung $2x_0$ hat.
(c) Leite die Formel $f'(x_0) = 2x_0$ her.
Schritt 1: den Ausdruck $m(x_0,x_0+h)$ vereinfachen
$\begin{array}{lcl} m(x_0,x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{((x_0+h)^2+1) - (x_0^2+1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x_0^2+2x_0h+h^2+1) - (x_0^2+1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2x_0h+h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h\cdot(2x_0+h)}{h}} \\ & = & \displaystyle{2x_0+h} \end{array}$
Schritt 2: den Grenzprozezz $h \rightarrow 0$ durchführen
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & 2x_0+h \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \downarrow\\ f'(x_0) & = & 2x_0 \end{array}$
Aufgabe 2: Eine Formel für Ableitungen herleiten
Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$.
(a) Erstelle zunächst mithilfe des Applets unter der Aufgabe eine Wertetabelle für die Ableitungsfunktion $f'$. Stelle dann eine Vermutung auf, wie die Formel für $f'(x_0)$ lauten müsste.
| $x_0$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $f'(x_0)$ | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 |
Vermutung: $f'(x_0) = -2x_0$
(b) Leite die Formel für $f'(x_0)$ her.
Schritt 1: den Ausdruck $m(x_0,x_0+h)$ vereinfachen
$\begin{array}{lcl} m(x_0,x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(-(x_0+h)^2+1) - (-x_0^2+1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(-x_0^2-2x_0h-h^2+1) - (-x_0^2+1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{-2x_0h-h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h\cdot(-2x_0-h)}{h}} \\ & = & \displaystyle{-2x_0-h} \end{array}$
Schritt 2: den Grenzprozezz $h \rightarrow 0$ durchführen
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & -2x_0-h \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \downarrow\\ f'(x_0) & = & -2x_0 \end{array}$
Aufgabe 3: Eine Formel für Ableitungen herleiten
Betrachte die lineare Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = 0.5x+1$.
(a) Das Applet unter der Aufgabe liefert dir sofort die Formel $f'(x_0) = \dots$. Begründe diese Formel mit der geometrischen Deutung der Ableitung.
Schritt 1: den Ausdruck $m(x_0,x_0+h)$ vereinfachen
Wenn man $x_0$ variiert, sieht man sofort: $f'(x_0) = 0.5$. Diese Formel ist plausibel, da $f'(x_0)$ die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $x_0$ beschreibt. Graph $f$ ist bei der vorgegebenen Funktion eine Gerade mit der Steigung $0.5$.
(b) Leite die Formel für $f'(x_0)$ her.
Schritt 1: den Ausdruck $m(x_0,x_0+h)$ vereinfachen
$\begin{array}{lcl} m(x_0,x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(0.5(x_0+h)+1) - (0.5x_0+1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(0.5x_0+0.5h+1) - (0.5x_0+1)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{0.5h}{h}} \\ & = & \displaystyle{0.5} \end{array}$
Schritt 2: den Grenzprozezz $h \rightarrow 0$ durchführen
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & 0.5 \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \downarrow\\ f'(x_0) & = & 0.5 \end{array}$
(c) Verallgemeinere das Ergebnis: Für eine lineare Ausgangsfunktion $f(x) = mx + b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'(x_0) = \dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.
$f'(x_0) = m$
(d) Betrachte auch diesen Sonderfall: Für eine konstante Ausgangsfunktion $f(x) = b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'(x_0) = \dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.
$f'(x_0) = 0$
