Erarbeitung - Begründung von Eigenschaften

Beispiel 1

Als Beispiel betrachten wir die Folge $\left( a_n \right)$, die so festgelegt ist:

Graph	Darstellung
	$a_n = 200 \cdot (1 - 0.5^n)$

Anhand des Graphen vermutet man, dass die Folge streng monoton steigend und nach oben und unten beschränkt ist.

Aufgabe 1: Beschränktheit begründen

(a) Begründe zunächst, dass $0 \text{ < } 0.5^n \text{ < } 1$ für $n = 1; 2; 3; ...$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_n > 0$ und $a_n \text{ < } 200$ für alle Folgenglieder gilt.

(c) Welche Schranken ergeben sich hieraus für die Folge $\left( a_n \right)$? Formuliere entsprechende Beschränktheitsaussagen.

Aufgabe 2: Monotonie begründen

(a) Begründe zunächst, dass $0.5^n \text{ > } 0.5^{n+1}$ für $n = 1; 2; 3; ...$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_n \text{ < } a_{n+1}$ für alle Folgenglieder gilt.

(c) Erläutere, welche Monotonieeigenschaft somit nachgewiesen ist.

Beispiel 2

Als Beispiel betrachten wir die Folge $\left( a_n \right)$, die so festgelegt ist:

Graph	Darstellung
	$a_n = 90 + 10\cdot n$

Anhand des Graphen vermutet man, dass die Folge streng monoton steigend und nicht nach oben beschränkt ist.

Aufgabe 3: Monotonie begründen

(a) Begründe zunächst, dass $10 \cdot n \text{ < } 10 \cdot (n+1)$ für $n = 1; 2; 3; ...$ gilt.

(b) Begründe mit Hilfe von (a), dass $a_n \text{ < } a_{n+1}$ für alle Folgenglieder gilt.

(c) Erläutere, welche Monotonieeigenschaft somit nachgewiesen ist.

Aufgabe 4: Beschränktheit untersuchen

Kann es eine obere Schranke $S$ für die Folgenglieder geben?

(a) Kann $S = 1000$ eine obere Schranke für die Folgenglieder sein? Begründe, dass man eine Platznummer $n$ findet, so dass $a_n > S$ gilt.

(b) Begründe, dass man für beliebige Werte für $S$ eine Platznummer $n$ findet, so dass $a_n > S$ gilt.

(c) Erläutere, welche Schlüsse man aus (b) hinsichtlich der Beschränktheit der Folge ziehen kann.