Vertiefung - Lösung mit einer Zahlenfolge
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde das Begrüßungsproblem mit einer Zahlenfolge gelöst. Wir schauen uns diese Zahlenfolge hier genauer an.
Das Vorgehen analysieren
Beim Lösen des Begrüßungsproblems haben wir im letzten Abschnitt die Zahlenfolge $0; 1; 3; 6; 10; ...$ benutzt. Wir führen Bezeichnungen für die einzenen Folgenglieder ein.
| Folgenglieder | Sprechweise | Bedeutung in der Situation |
|---|---|---|
| $a_1 = 0$ | Das 1. Folgenglied beträgt $0$. | Bei einer Party mit einem Gast gibt es $0$ Begrüßungen. |
| $a_2 = 1$ | Das 2. Folgenglied beträgt $1$. | Bei einer Party mit zwei Gästen gibt es $1$ Begrüßung. |
| $a_3 = 3$ | Das 3. Folgenglied beträgt $3$. | Bei einer Party mit drei Gästen gibt es $3$ Begrüßungen. |
| $a_4 = 6$ | Das 4. Folgenglied beträgt $6$. | Bei einer Party mit vier Gästen gibt es $6$ Begrüßungen. |
| $a_5 = 10$ | Das 5. Folgenglied beträgt $10$. | Bei einer Party mit fünf Gästen gibt es $10$ Begrüßungen. |
| ... | ... | ... |
Aufgabe 1
(a) Ergänze die nächste Zeile in der Übersicht.
(b) Formuliere die Lösung des Begrüßungsproblems bei 113 Personen in der neuen Schreibweise: $a_{\dots} = \dots$
Aufgabe 2
Sicher ist dir auch schon aufgefallen, dass man die Folgenglieder schrittweise berechnen kann.
$a_1 = 0$
$a_2 = a_1 + 1$
$a_3 = a_2 + 2$
$a_4 = a_3 + 3$
$a_5 = a_4 + 4$
...
(a) Ergänze die nächste Berechnungsformel.
(b) Beschreibe die Berechnungen jetzt allgemein. Ergänze hierzu die Formel für $a_n$.
$a_1 = 0$
$a_n =$ ... (für $n = 2, 3, ...$)
(c) Kontrolliere die Formel im folgenden Applet.
Aufgabe 3
Die Folgenglieder kann man auch direkt berechnen.
$a_1 = (1 \cdot 0)/2$
$a_2 = (2 \cdot 1)/2$
$a_3 = (3 \cdot 2)/2$
...
(a) Ergänze die nächste Berechnungsformel.
(b) Beschreibe die Berechnungen jetzt allgemein. Ergänze hierzu die Formel für $a_n$.
$a_n =$ ... (für $n = 1, 2, 3, ...$)
(c) Kontrolliere die Formel im folgenden Applet.
