Erarbeitung - Lösung des Problems
Zur Orientierung
Beim Problemlösen steht man zunächst vor einer Art Hindernis
, das man überwinden möchte.
Manchmal braucht man dann Kreativität, um das Problem zu lösen. Meist ist auch ein strategisches Vorgehen günstig.
Wir spielen das im Kontext Begrüßungen
hier durch.
Problemlösung - Version 1
Lösungsidee: Wir spielen die Begrüßungen (hier in Gedanken) einmal durch.
Strategie: Wir lösen das Problem für wenige Personen und gehen dabei systematisch vor. Wir nehmen dabei an, dass die Personen alle der Reihe nach zur Fete kommen. Nach und nach erhöht sich hierdurch die Gesamtanzahl der Bergrüßungen.
| Situation | Beschreibung | Anzahl der Begrüßungen |
|---|---|---|
|
Die 1. Person kommt zur Party. Diese Person muss niemanden begrüßen. |
Anzahl der Personen: 1 Gesamtanzahl der Begrüßungen: 0 |
|
Die 2. Person kommt zur Party. Diese Person muss nur 1 Person begrüßen. |
Anzahl der Personen: 2 Gesamtanzahl der Begrüßungen: 1 |
|
Die 3. Person kommt zur Party. Diese Person muss ... Personen begrüßen. |
Anzahl der Personen: ... Gesamtanzahl der Begrüßungen: ... |
|
Die 4. Person kommt zur Party. Diese Person muss ... Personen begrüßen. |
Anzahl der Personen: ... Gesamtanzahl der Begrüßungen: ... |
| ... |
Die nächste Person kommt zur Party. Diese Person muss ... Personen begrüßen. |
Anzahl der Personen: ... Gesamtanzahl der Begrüßungen: ... |
Aufgabe 1
(a) Ergänze die fehlenden Werte in der Übersicht.
(b) Beschreibe, wie man für 113 Personen die Anzahl der Begrüßungen berechnen kann.
(c) Beschreibe ein Verfahren, wie man für eine beliebige Anzahl $n$ von Personen die zugehörige Gesamtanzahl $a_n$ von Begrüßungen berechnen kann.
Problemlösung - Version 2
Hier die Lösungsidee von F.:
„Wenn 113 Personen sich gegenseitig begrüßen, dann begrüßt jede der 113 Personen 112 andere Personen. Man müsste also $113 \cdot 112$ rechnen, um alle Begrüßungen zu erhalten.“
Aufgabe 2
(a) Führt die Lösungsidee zum korrekten Ergebnis? Überprüfe die Rechnung an einem einfacheren Zahlenbeispiel. Wähle die Zahlen so, dass du dein Ergebnis mit einem Kontrollwert abgleichen kannst.
(b) F. ergänzt jetzt so: „Wenn 113 Personen sich gegenseitig begrüßen, dann begrüßt jede der 113 Personen 112 andere Personen. Wenn man $113 \cdot 112$ rechnet, wird jede Begrüßung doppelt gezählt. Man müsste also $(113 \cdot 112)/2$ rechnen.“
Erkläre am Beispiel von drei Personen, was F. meint. Führe weitere Kontrollrechnungen durch:
- Anzahl der Personen: $3$
Gesamtanzahl der Begrüßungen: $(3 \cdot 2)/2 = ...$ -
Anzahl der Personen: $4$
Gesamtanzahl der Begrüßungen: ... -
Anzahl der Personen: $n$
Gesamtanzahl der Begrüßungen: $a_n = \dots$
